金融工程中的蒙地卡羅方法

引用

Glasserman, P. (2003). Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer.

章節概要

全書共九章和三個附錄，約600頁，配有99幅圖。前言把全書分為三部分：第1–3章講模擬的基礎和要模擬的模型，第4–6章講如何把模擬做得更好，第7–9章講金融中特有的專題。

第1章：Foundations

本章分為兩半。前半“Principles of Monte Carlo”通過最初的例子引入模擬，並說明如何評價模擬估計量的效率。後半“Principles of Derivatives Pricing”涉及定價與複製、套利與風險中性定價、計價單位變換以及風險的市場價格。兩部分合起來，說明了定價問題如何轉化為蒙特卡羅方法可以處理的積分問題。

第2章：Generating Random Numbers and Random Variables

本章講每一個模擬都要用到的基本工具：隨機數生成（線性同餘生成器、其實現與格結構、組合生成器）、一般抽樣方法（逆變換法與接受–拒絕法），以及正態隨機變數和向量，包括一元和多元正態的生成。

第3章：Generating Sample Paths

這是前三章中最長的一章（第79–184頁），依次講金融工程中使用的各種模型及其模擬方法：布朗運動、幾何布朗運動（含路徑依賴期權）、高斯短期利率模型、平方根擴散、帶跳的過程，以及兩類遠期利率模型，即連續利率的HJM框架和簡單利率的LIBOR市場模型。前言指出，本章和第1章所含的金融背景比單純執行模擬所需的更多，因為許多有趣的模擬問題正出在模型細節上。

第4章：Variance Reduction Techniques

控制變數、對偶變數、分層抽樣、拉丁超立方抽樣、匹配基礎資產（矩匹配與加權蒙特卡羅）和重要性抽樣，各配有金融例子，最後以總結性的一節比較各種方法。

第5章：Quasi-Monte Carlo

本章從一般原理（偏差、van der Corput序列、Koksma–Hlawka界、網與序列）出發，再講具體的低偏差序列構造（Halton與Hammersley、Faure、Sobol'）、格點規則和隨機化擬蒙特卡羅，最後討論在金融中的應用，包括數值例子和實施策略。

第6章：Discretization Methods

模擬連續時間模型，就是模擬它的離散時間近似。本章從Euler格式和收斂階開始，接著講二階方法（標量與向量情形、路徑依賴、外推），再講一般展開、跳擴散和均方誤差的推廣，用布朗插值處理極值與障礙穿越，最後是變數替換。

第7章：Estimating Sensitivities

本章比較三種估計價格敏感度（“希臘字母”）的方法：有限差分近似（偏差、方差與最優均方誤差）、路徑導數估計（含無偏性條件）和似然比方法，後者還處理了gamma。

第8章：Pricing American Options

美式期權定價要求在模擬內部求解最優停時問題。在給出問題的表述之後，本章依次講引數近似、隨機樹方法（高估計量與低估計量）、狀態空間劃分、隨機網格方法、基於迴歸的方法與權重，以及對偶性。

第9章：Applications in Risk Management

最後一章從定價轉向風險度量：損失機率與風險價值（VaR）、利用delta-gamma近似的方差縮減、厚尾情形，以及信用風險（違約時間與估值、相依違約、組合信用風險）。前言提醒，本章的模型和方法與前面的定價各章不同。

附錄

附錄A講收斂概念、中心極限定理和置信區間。附錄B陳述隨機分析的結果：伊藤公式、隨機微分方程、鞅和測度變換。附錄C給出期限結構術語和利率衍生品。

核心概念

第1–3章：基礎、隨機數與樣本路徑

• 模擬估計量的效率：第1章引入的、用來比較不同模擬估計量的標準。
• 風險中性定價與計價單位變換：把衍生品價值變成可用模擬估計的期望的定價原理。
• 逆變換法與接受–拒絕法：從非均勻分佈抽樣的兩種一般方法。
• 模型的模擬：布朗運動、短期利率與平方根模型、跳過程、HJM與LIBOR市場模型，每一種都配有生成路徑的方法。

第4–6章：把模擬做得更好

• 方差縮減：控制變數、對偶變數、分層抽樣、拉丁超立方抽樣、矩匹配與重要性抽樣。
• 低偏差序列：Halton、Faure、Sobol'序列等確定性點集，隨機化擬蒙特卡羅可以恢復誤差估計。
• 離散化誤差：模擬離散時間近似所帶來的偏差，由格式的收斂階（Euler格式與二階格式）決定。

第7–9章：金融中的專題

• 路徑導數估計與似然比估計：與有限差分相對照的兩種求導估計方法。
• 高估計量與低估計量：美式期權價值的上下估計，與第8章末的對偶性討論相聯絡。
• 風險價值與delta-gamma近似：風險度量，以及用來加快其模擬的二次型組合近似。
• 組合信用風險：違約時間與相依違約。

評析

優點

• 模擬與金融相互解釋。 前言把本書既看作透過金融來看的蒙特卡羅著作，又看作透過模擬來看的金融工程著作，因此期限結構模型和定價模型是通過實現它們來學習的。
• 一卷涵蓋整個領域。 目錄從隨機數生成器，經方差縮減、擬蒙特卡羅、離散化、希臘字母和美式期權，直至風險管理。Mathematical Reviews（Benjamin Jourdain）、Zentralblatt MATH（Radu Theodorescu）和Journal of the Operational Research Society（A. Zhigljavsky）的書評認為它內容全面，有可能成為該領域的主要參考書。
• 對嚴格性的態度坦率。 前言說明，可積性、解的存在等技術條件常被略過，只有在影響某種技術適用範圍時才明確說出。附錄B為需要的讀者給出了主要隨機分析工具的精確表述。
• 章內結構固定。 多數章節把方法與例子配對，並以總結性的評述收尾，有助於比較和選擇方法。

局限

• 先修要求是實在的。 前言指出最重要的先修知識是熟悉伊藤積分、隨機微分方程和鞅，其中用到的最高深的概念是測度變換和Girsanov定理。附錄B是對這些工具的提醒，不能代替學習。
• 對技術條件的處理較為非形式化。 需要收斂性或無偏性的定理級證明的讀者必須查閱所引文獻；本書的目標是實現。
• 部分內容已顯陳舊。 這是2003年的文本，不含其所涉主題的後續研究，需要了解當前實踐的讀者應以較新的文獻補充。
• 最後一章自成一體。 前言指出第9章的模型和方法不同於前面的定價各章，所以它只是風險管理的部分入門，而不是完整論述。

在課程中的定位

在本課程的其他書中，Hull的 Options, Futures, and Other Derivatives 及其較短的姊妹篇 Fundamentals of Futures and Options Markets 提供了Glasserman僅輕度假定的市場與定價背景，初學衍生品的讀者應由此入手。Björk的 Arbitrage Theory in Continuous Time、Musiela與Rutkowski的 Martingale Methods in Financial Modelling、Bingham與Kiesel的 Risk-Neutral Valuation 以及Lamberton與Lapeyre的隨機分析著作，對定價理論作了數學化的論述，而第1章和附錄B只是作了概括；缺少連續時間金融知識的讀者，可以把其中之一當作自然的先修讀物。

Glasserman提供的是計算方面。Platen與Bruti-Liberati的 Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance 是一部更偏數學、篇幅更長的專著，討論帶跳SDE的離散化格式，在收斂階和數值穩定性方面比第6章深入得多；Glasserman的書則更寬廣、更偏金融。Rebonato關於LIBOR市場模型的書和課程中的固定收益教材，是3.7節和附錄C期限結構內容的有益補充。

如何使用本書

正如前言所說，本書適合金融工程的研究生、使用模擬的研究者以及實現模型的從業者。讀者應當具備隨機分析和一些期權定價知識，並有足以實現這些演算法的程式設計經驗。

初讀時，先讀第1、2章和第3章中的布朗運動與幾何布朗運動部分，然後直接進入第4章的方差縮減，這是模擬執行起來之後改進它最直接的辦法。3.3至3.7節的利率模型可以等課程講到時再讀。模擬沒有精確解的模型時需要第6章的離散化。第7章和第8章（希臘字母與提前行權）是衍生品定價實踐的核心；第5章的擬蒙特卡羅是可選的延伸，供想了解隨機抽樣之外的確定性方法的讀者閱讀。準備從事風險管理的讀者適合讀第9章。

邊讀邊實現：為第3章的每個模型寫一個模擬器，然後加入方差縮減，並用附錄A的置信區間內容比較標準誤差。請隨時翻閱附錄A和B，以便核對記號，以及非形式化論證背後的精確表述。