01 / 导读
导读
引用
Björk, T. (2019). Arbitrage Theory in Continuous Time (4th ed.). Oxford University Press. Oxford Finance Series.
章节概要
全书38章分为六部分，后面是测度与积分、概率论、鞅与停时、凸对偶四个附录。出版社的介绍说，本书对套利理论作了两种完整的处理，即经典的 delta 对冲方法和现代的鞅方法，二者可以彼此独立地学习。第四版新增了关于不完全市场的各章（第五部分）和动态均衡理论部分（第六部分）。
第1章：引言
阐述套利理论的目标和金融衍生品定价问题，并以欧式看涨期权和一个货币风险的例子引出对冲。
第一部分，第2–3章：离散时间模型（二项式模型；更一般的单期模型）
二项式模型在单期和多期情形下引入复制组合和无套利定价。第3章推广单期模型，引入鞅测度和完备性。
第二部分，第4–5章：随机分析（随机积分；随机微分方程）
维纳过程、随机积分、伊藤公式和随机微分方程，以及随机微分方程与偏微分方程的联系。这是后面所有内容的数学工具。
第三部分，第6–10章：从组合动态到 delta 对冲
第6至8章（组合动态；套利定价；完备性与对冲）讲解自融资组合、Black–Scholes 定价方程和完备性的条件。第9章“不完全市场入门”预告第五部分将处理的问题，第10章“平价关系与 delta 对冲”讲平价关系和 delta 对冲。
第三部分，第11–15章：鞅方法
第11、12章（套利理论的鞅方法；鞅方法的数学）把定价改写为鞅测度下的期望，并提供所需的数学，包括 Girsanov 定理。第13章从这一观点推导 Black–Scholes 公式，第14章扩展到多维情形，第15章引入计价单位的变换。
第三部分，第16–18章：红利；远期与期货合约；货币衍生品
将鞅方法应用于支付红利的股票、远期与期货，以及外汇期权。
第三部分，第19–24章：利率
债券与利率（19）、短期利率模型（20）、短期利率的鞅模型（21）、远期利率模型（22）、LIBOR 市场模型（23）和势与正利率（24）。期限结构建模从短期利率发展到远期利率模型和市场模型，该部分以研究正利率的势理论方法结束。
第四部分，第25–28章：最优控制与投资理论
随机最优控制（25）、最优消费与投资（26）、最优投资的鞅方法（27）以及最优停止理论与美式期权（28）。动态规划和鞅方法用于投资组合选择，最优停止则给出美式期权的定价。
第五部分，第29–34章：不完全市场
不完全市场（29）、Esscher 变换与最小鞅测度（30）、f-散度最小化（31）、不完全市场中的投资组合优化（32）、效用无差异定价及其他主题（33）以及好交易界（34）。当完美对冲不可能时，就必须选定某个特定的鞅测度或价格区间。
第六部分，第35–38章：动态均衡理论
均衡理论：一个简单的生产模型（35）、Cox–Ingersoll–Ross 因子模型（36）、Cox–Ingersoll–Ross 利率模型（37）以及禀赋均衡：单位净供给（38）。价格和利率由主体的最优化而不仅仅由套利推出。
核心概念
第一、二部分：离散模型与随机分析
- 复制组合：重现衍生品支付的交易策略，由此确定其无套利价格。
- 伊藤公式：随机过程函数的链式法则，用于推导定价方程。
第三部分：套利理论
- 自融资组合与完备性：不需要外部现金流的策略，以及每个未定权益都可复制的市场。
- 鞅测度：在该概率测度下贴现价格是鞅，衍生品价格等于期望。
- 计价单位的变换：选取另一种价格作为计价单位以简化估值。
- 期限结构模型：短期利率模型、远期利率模型和 LIBOR 市场模型。
第四至六部分：控制、不完全性与均衡
- 随机最优控制与最优停止：用于消费-投资问题和美式期权的工具。
- 最小鞅测度与好交易界：在市场不完全时选择价格的方法。
- 均衡模型：价格由供求以及主体的最优化决定。
评析
优点
- 通向理论的两条平行路径。 据出版社介绍，delta 对冲和鞅方法都得到完整处理，且可独立学习，数学基础较弱的读者可以读前者，较高级的读者则可读后者。
- 数学与经济解释并重。 介绍强调对所有概念都给出直观的经济论证，每种新技术都配有一个已解的例子，并有大量习题和每章的延伸阅读。
- 一册之内范围广泛。 本书涵盖期权定价、利率模型、美式期权、最优投资、不完全市场和均衡，附录汇集了所需的测度论、概率、鞅和凸对偶背景。
- 第四版大幅扩充。 新章节涵盖 Esscher 变换、f-散度和好交易界等不完全市场主题，新增一部分讲授动态均衡。
局限
- 篇幅与难度。 全书592页，面向研究生，是一部篇幅很长的读物；关于测度论、概率和凸对偶的附录表明后面几部分依赖多少数学。
- 没有数值实现的章节。 从章节标题看，本书侧重理论；校准、模拟和数值方法不是独立主题，因此需要用数值方法的教材来补充。
- 不含信用风险。 目录中没有违约或信用衍生品的章节，需要另一本信用风险教材来补足。
- 第三部分过长。 第三部分从第6章到第24章，占全部章节的一半，并且混合了 delta 对冲路径、鞅路径和利率各章，读者需要一个选读计划。
在课程中的定位
在资产定价与衍生品课程书单中，Björk 是一部研究生层次的理论教材，介于面向市场的入门读物和技术性专著之间。Hull 的两本书偏重机构和应用：Fundamentals of Futures and Options Markets 不用微积分就介绍各种工具，Options, Futures and Other Derivatives 以较易懂的数学给出标准的市场与估值叙述。想要定价结果的推导，则可在这之后读 Björk。
在数学方面，Lamberton 和 Lapeyre 的随机分析金融应用导论是一条面向金融、独立的路线，通向同样的工具。Musiela 和 Rutkowski 的 Martingale Methods in Financial Modelling 以及 Bingham 和 Kiesel 的 Risk-Neutral Valuation 是可比的研究生层次论述。专门著作则深化个别主题：Rebonato 论 LIBOR 市场模型，Glasserman 论蒙特卡洛方法，Platen 和 Bruti-Liberati 论带跳的随机微分方程的数值解。Tuckman、Veronesi 和 Sundaresan 的固定收益教材是第19至23章在市场侧的配套读物，Duffie 和 Singleton 的书则补上 Björk 没有涵盖的信用风险。
如何使用本书
据出版社介绍，本书面向经济学和数学专业的研究生，以及学习数理金融的高年级本科生和专业人士。实际最低要求是高年级本科水平的微积分和概率；附录提供测度论方面的背景。
第一遍可以这样读：第1至3章获取离散时间的直观，第4、5章学随机分析，再读第6至10章，经 delta 对冲路径得到 Black–Scholes。想了解现代方法的读者可继续读第11至15章，然后选择主题：第16至18章讲红利、期货与货币，第19至24章讲利率。第25至28章适合投资理论和美式期权的课程，第五、六部分则面向高级读者。
要做习题，因为每种技术都配有已解例子，习题在此基础上延伸；遇到测度论问题时请查阅附录。