01 / 导读
导读
引用
Platen, E., & Bruti-Liberati, N. (2010). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations with Jumps in Finance. Springer-Verlag.
章节概要
本书是一部约850页的研究专著，主题是由维纳过程和泊松跳测度驱动的随机微分方程（SDE）的离散时间近似的设计与分析。前言把全书分为四部分：含随机展开的理论基础；强近似，连同估计与滤波；弱近似；以及关于数值稳定性、鞅表示和方差缩减的最后一部分。第18章给出各章末习题的解答。前言还区分了时间网格不含跳跃时刻的正则格式与网格包含跳跃时刻的跳适应格式，也区分了适用于情景分析、滤波和对冲模拟的强近似，与适用于衍生品价格、风险度量等期望的弱近似。
第1章：Stochastic Differential Equations with Jumps
对理论的自足介绍：随机过程、上鞅与鞅、二次变差与协变差、伊藤积分与伊藤公式、SDE、线性SDE、带跳的SDE，以及解的存在唯一性。
第2章：Exact Simulation of Solutions of SDEs
如果能对SDE的解进行精确抽样，就不产生离散化误差。本章讲从转移分布抽样、多维SDE的精确解、精确解的函数、通过条件化和时间变换得到的几乎精确解，以及解的泛函。
第3章：Benchmark Approach to Finance and Insurance
本章介绍第一作者的基准方法，把它作为超越标准风险中性设定来建模风险的框架：市场模型、最佳表现组合、上鞅性质与定价、分散化、若干模型和最小市场模型下的真实世界定价，以及二项期权定价。
第4章：Stochastic Expansions
高阶格式背后的数学引擎：Wagner-Platen展开简介、多重随机积分、系数函数、展开本身，以及多重随机积分的矩估计。
第5章：Introduction to Scenario Simulation
本章从常微分方程解的近似出发，进入情景模拟，并介绍强Taylor格式和无导数强格式。
第6章：Regular Strong Taylor Approximations with Jumps
建立带跳的离散时间近似，然后讲强阶1.0的Taylor格式、可交换性条件、收敛结果、关于多重伊藤积分的引理，以及收敛定理的证明。
第7章：Regular Strong Itô Approximations
显式正则强格式、漂移隐式格式、平衡隐式方法和预估–校正格式，并给出收敛结果。
第8章：Jump-Adapted Strong Approximations
前述格式的跳适应版本（Taylor、无导数、漂移隐式、预估–校正、精确模拟）、收敛结果、强格式的数值结果以及纯跳过程的近似。
第9章：Estimating Discretely Observed Diffusions
最大似然估计、估计量的离散化、扩散的变换函数、仿射扩散的估计、估计函数的渐近性质，以及跳扩散的估计。
第10章：Filtering
Kalman-Bucy滤波、隐马尔可夫链滤波、均值回复过程的滤波、滤波中的平衡方法，以及金融中滤波的基准方法。
第11章：Monte Carlo Simulation of SDEs
弱近似部分由此开始：蒙特卡罗模拟导论、弱Taylor格式、无导数弱近似、外推方法，以及隐式与预估–校正方法。
第12章：Regular Weak Taylor Approximations
弱Taylor格式、可交换性条件与收敛结果。
第13章：Jump-Adapted Weak Approximations
跳适应弱格式、无导数与预估–校正格式、若干精确弱格式、跳适应弱Taylor格式及其他跳适应弱格式的收敛性，以及弱格式的数值结果。
第14章：Numerical Stability
渐近p稳定性，以及预估–校正方法、若干隐式方法和简化格式的稳定性。
第15章：Martingale Representations and Hedge Ratios
一般或有索取权定价、一维过程的对冲比率、显式对冲比率、非光滑收益的鞅表示、绝对连续的收益函数、多种资产的最大值，以及回望期权的对冲比率。
第16章：Variance Reduction Techniques
各种方差缩减方法、测度变换技术、离散时间方差缩减估计量、控制变量和HP方差缩减方法。
第17章：Trees and Markov Chain Approximations
树方法的数值效应、简化格式的效率、高阶马尔可夫链近似、有限差分方法，以及马尔可夫链的收敛定理。
第18章：Solutions for Exercises
各章末习题的解答，约25页。
核心概念
第1–4章：理论与框架
- 带跳的SDE：同时由维纳过程和泊松跳测度驱动的方程，是后面所有格式所要近似的对象。
- 精确与几乎精确模拟：不产生离散化误差，或借助条件化、时间变换而几乎不产生误差地对解抽样。
- 基准方法：第一作者提出的定价与风险框架，以最佳表现组合为中心。
- Wagner-Platen展开：随机的Taylor型展开，其截断式产生后面各章的格式。
第5–10章：强近似、估计与滤波
- 强收敛阶：格式的逐路径精度，用于评价强Taylor格式和伊藤格式。
- 正则格式与跳适应格式：时间网格是忽略还是包含跳跃时刻。
- 漂移隐式、平衡隐式和预估–校正格式：以每步更多的计算换取更好稳定性的方法。
- 最大似然估计与滤波：离散观测扩散的参数估计，以及Kalman-Bucy滤波和隐马尔可夫链滤波。
第11–17章：弱近似与应用
- 弱收敛阶：期望而非路径的精度，是蒙特卡罗定价的标准。
- 可交换性条件：较简单的格式得以保持阶数的条件。
- 数值稳定性：步长增大时误差是否仍受控制，通过p稳定性来研究。
- 对冲比率与鞅表示：对价格关于模型输入的导数进行模拟。
- 方差缩减：控制变量、测度变换和HP方差缩减。
评析
优点
- 对跳的系统处理。 本书为带跳SDE建立了完整的链条，从理论和展开到强格式、弱格式。前言称其显著超越了Kloeden与Platen关于无跳SDE的早先著作。
- 按目的清晰组织。 强格式与弱格式、正则格式与跳适应格式的区分体现在目录中，读者可以直接转到情景分析或蒙特卡罗定价所需的那一族格式。
- 明确的阅读路线。 开头的“Suggestions for the Reader”给出四幅流程图，分别面向不想深入数学的应用者、工程师与量化分析师、数学家以及金融从业者，列出该读和可跳过的章节。
- 带解答的习题。 每章都以习题结尾，第18章提供解答。
- 超出模拟的广度。 除近似格式外，还包括精确模拟、参数估计、滤波、对冲比率和方差缩减。
局限
- 篇幅与密度。 全书超过850页，含收敛定理的证明（如6.5和6.6节，以及第7、8、13章的收敛各节），这是一部专著，而不是短期课程。前言自己也说明，本书并不声称完整记述该领域的最新状态。
- 金融用于激发，而不是教授。 前言说选择金融是为了激发这些方法。需要把衍生品定价、期限结构模型或风险管理作为主题来学习的读者，还需要其他书。
- 基准方法可能陌生。 前言说基准方法“对大多数读者可能是新的”，第3章是它的主要介绍。
- 早于后来的进展。 这是2010年的文本，不含后续研究；前言提到作者的网页是更新信息的来源。
在课程中的定位
在本课程中，本书是价格理论各书的数值计算专门补充。Björk、Musiela与Rutkowski、Bingham与Kiesel、Lamberton与Lapeyre说明衍生品在连续时间模型中值多少；Platen与Bruti-Liberati则追问：当模型没有闭式解并含有跳时，如何计算这些值。Glasserman的 Monte Carlo Methods in Financial Engineering 是更宽广、更偏金融的模拟教材，涵盖随机数生成、方差缩减、拟蒙特卡罗、希腊字母、美式期权和风险管理；本书在离散化格式、收敛阶和数值稳定性上更深入，并加入了跳。
初次接触衍生品，应先读Hull的 Options, Futures, and Other Derivatives 或较短的 Fundamentals of Futures and Options Markets。本书还以Kloeden与Platen 1992年关于无跳SDE的著作为基础，前言称之为它的前身。
如何使用本书
前言说，本书面向具有工程类本科数学方法训练的读者，对只需要数值“配方”的人也容易读。这是应用路线的先修要求，数学路线则要求更多。
从“Suggestions for the Reader”的四幅流程图中选择一条。想在金融以外应用带跳SDE的读者走第一条：读1.1至1.8节，再读情景模拟导论章、正则与跳适应的强格式，以及第11至13章的弱格式，最后读第14章和16.1节。工程师和量化分析师加上第2章、第4章和整个第16章。数学家略过第1章，直接读第2章，然后转向讲收敛的各章。金融从业者在应用路线上加读第2、3、9、10、15、16、17章。
无论走哪条路线，都要做每章末的习题，并对照第18章核对。对于跳适应格式，可把数值结果各节（8.8和13.7节）作为预期精度的参考。同时使用Glasserman那本书的读者，可把它当作模拟实践的指南，而把本书当作格式数值分析的参考书。