ファイナンスのための確率解析入門

引用

Lamberton, D., & Lapeyre, B. (2007). Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC.

章の要約

第1章：Discrete-Time Models

本書は離散時間から始まり、確率積分なしで中心的な考え方が見えるようにしている。資産、取引戦略、自己充足的ポートフォリオの形式化を行い、マルチンゲールと裁定機会の不在を結びつけ、完備市場とオプション価格付けを論じる。第2版では、資産価格付けの基本定理に関するRogersの方法と、不完備市場での超複製に関する補足が加わった。章末は、Black-Scholesモデルの離散時間版であるCox-Ross-Rubinsteinモデルについての問題である。

第2章：Optimal Stopping Problem and American Options

停止時刻を定義し、スネル包絡、優マルチンゲールの分解を導入して、離散時間でのアメリカン・オプションの価格付けとヘッジに応用する。

第3章：Brownian Motion and Stochastic Differential Equations

連続時間の道具立て。ブラウン運動とその性質、確率積分と伊藤解析（伊藤の公式を含む）、確率微分方程式。

第4章：The Black-Scholes Model

モデルを説明し、確率測度の変換によってオプションの価格付けとヘッジを行い、アメリカン・オプションを扱う。第2版では、Dupireの公式を含むインプライド・ボラティリティとローカル・ボラティリティのモデルが加わった。

第5章：Option Pricing and Partial Differential Equations

ヨーロピアン・オプションの価格を、拡散過程とそれが満たす偏微分方程式に結びつけ、放物型方程式の数値解法を扱い、アメリカン・オプションに対する偏微分方程式のアプローチを論じる。

第6章：Interest Rate Models

金利モデルの原理に続き、古典的なモデル（Vasicek、Cox-Ingersoll-Ross、Heath-Jarrow-Morton）を扱う。第2版で加わったニュメレールの変更、フォワード測度、フォワードLiborモデルは、金利に関する内容に含まれる。

第7章：Asset Models with Jumps

ポアソン過程、資産価格のジャンプ拡散モデル、価格が跳ぶ場合のオプション価格付けを導入する。

第8章：Credit Risk Models

第2版で新設された章。企業の資産価値に基づく構造モデル、強度に基づくモデル、デフォルト時刻の同時分布のためのコピュラを扱う。

第9章：Simulation and Algorithms for Financial Models

金融モデルのシミュレーション、分散減少法、コンピュータ実験。第2版では、分散減少とヘッジ戦略を例示する数値実験が加わり、章が拡充された。

付録

正規確率変数、条件付き期待値、凸集合の分離の復習。続いて文献表と索引がある。

主要概念

第1–2章：離散時間と最適停止

• 自己充足的戦略と裁定：外部の資金を必要としない取引戦略と、純投資なしでリスクのない利益が得られる可能性。
• マルチンゲールと完備市場：無裁定価格の特徴付けと、あらゆる請求権が複製できる市場。
• スネル包絡と停止時刻：アメリカン・オプションの価格付けを最適停止問題として扱う道具。

第3–5章：連続時間とBlack-Scholes

• ブラウン運動と伊藤解析：確率積分と伊藤の公式。
• 確率測度の変換：価格付けをリスク中立測度へ移す手法。
• インプライド・ボラティリティとローカル・ボラティリティ：行使価格と満期でボラティリティが変わるようにする拡張。
• 価格付けと偏微分方程式の関係：オプション価格は放物型方程式の解であり、数値的に解ける。

第6–9章：拡張

• 短期金利モデルとフォワード・レート・モデル：Vasicek、Cox-Ingersoll-Ross、Heath-Jarrow-Morton。
• ジャンプ拡散モデル：ポアソン過程による不連続性を持つ資産価格。
• 構造モデルと強度モデル、コピュラ：デフォルトとデフォルト間の依存関係のモデル化。
• モンテカルロ法と分散減少：数値評価と、それを効率化する技法。

批判的分析

長所

• 簡潔でコンパクト。 約250ページで、必要な確率解析を提供し、確率解析そのものを目的とせずデリバティブ価格付けの主要な話題に応用する。出版社は、金融で使われる確率的手法の堅実な入門だと述べている。
• 離散時間から始める。 マルチンゲール、裁定、完備性、アメリカン・オプションをまず離散時間で学ぶので、経済的な考え方が連続時間の技術的な細部から切り離される。
• 小さい分量の割に広い。 Black-Scholesモデルのほか、金利モデル、ジャンプ・モデル、信用リスク、シミュレーションにまで及ぶ。
• 演習と問題。 出版社は第2版で演習と問題が追加されたと述べており、第1章の末尾にはモデル化の問題がある。
• 第2版の実質的な更新。 ローカル・ボラティリティとDupireの公式、ニュメレールの変更、フォワード測度、フォワードLiborモデル、信用リスクの章が新しい。

短所

• 確率論の素養が前提。 確率解析は提供されるが、測度論的確率、条件付き期待値、マルチンゲールに慣れていることが期待され、付録は一部の結果を簡潔に復習するにとどまる。
• 後半の章が短い。 金利、ジャンプ、信用のモデルは、この分量の本ではそれぞれ1章にすぎず、完全な扱いではなく入門である。
• 計算面の指導が限られる。 計算を扱うのはシミュレーションの章のみで、実装についての詳しい資料はない。

コースにおける位置づけ

資産価格・デリバティブのリストの中では、短めで数学を先に置いた入門書の一つである。BjörkのArbitrage Theory in Continuous Time、Bingham＆KieselのRisk-Neutral Valuation、Musiela＆RutkowskiのMartingale Methods in Financial Modellingは同じ流れをより長く扱い、最後の本ははるかに大きく、金利の部分が特に深い。Hunt＆KennedyのFinancial Derivatives in Theory and Practiceは価格理論への別の道である。

HullのOptions, Futures, and Other Derivativesは、Lamberton＆Lapeyreにない市場や商品の背景を与え、より短いFundamentals of Futures and Options Marketsはさらに穏やかな入口である。GlassermanのMonte Carlo Methods in Financial Engineeringと、Platen＆Bruti-Libertiのジャンプ付き確率微分方程式の数値解法の本は、本書の最終章のシミュレーションよりはるかに先まで進む。

本書の使い方

確率と微積分の確かな基礎を持ち、離散時間モデルからBlack-Scholesとその拡張までを簡潔かつ厳密にたどりたい学生向けである。数理ファイナンスの授業、または市場寄りの教科書と併せた独習に向く。

まず第1章と第2章、次に中核となる第3章と第4章を読む。偏微分方程式で数値的に価格付けをする読者は第5章が必要である。第6章から第8章は互いにほぼ独立で、関心に応じて選べる。第9章はプログラミングの練習と合わせるのに適している。付録で条件付き期待値を復習し、連続時間に進む前に演習、特に第1章末の問題に取り組むとよい。