01 / 導讀
導讀
引用
Lamberton, D., & Lapeyre, B. (2007). Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance (2nd ed.). Chapman & Hall/CRC.
章節概要
第1章：Discrete-Time Models
全書從離散時間開始，在這裡無需隨機積分就能看清核心思想。本章建立資產、交易策略和自融資組合的形式化框架，把鞅與無套利聯絡起來，並討論完備市場和期權定價。第二版增加了關於資產定價基本定理的Rogers方法以及不完備市場中超複製的補充內容。本章以關於Cox、Ross和Rubinstein模型（Black-Scholes模型的離散時間對應）的一道綜合題結束。
第2章：Optimal Stopping Problem and American Options
定義停時，引入Snell包絡、上鞅分解，並把它們應用於離散時間美式期權的定價與對沖。
第3章：Brownian Motion and Stochastic Differential Equations
連續時間的工具：布朗運動及其性質、隨機積分與伊藤微積分（包括伊藤公式），以及隨機微分方程。
第4章：The Black-Scholes Model
介紹模型，用機率測度變換為期權定價和對沖，並處理美式期權。第二版增加了隱含波動率和區域性波動率模型，包括Dupire公式。
第5章：Option Pricing and Partial Differential Equations
把歐式期權價格與擴散過程及其滿足的偏微分方程聯絡起來，講述拋物型方程的數值解法，並討論美式期權的偏微分方程方法。
第6章：Interest Rate Models
利率建模的原則，隨後是經典模型（Vasicek、Cox-Ingersoll-Ross和Heath-Jarrow-Morton）。第二版新增的計價單位變換、遠期測度和遠期Libor模型屬於利率部分。
第7章：Asset Models with Jumps
介紹泊松過程、資產價格的跳躍擴散模型，以及價格出現跳躍時的期權定價。
第8章：Credit Risk Models
第二版新增的一章，涵蓋基於企業資產價值的結構模型、基於強度的模型，以及用於違約時間聯合分佈的Copula。
第9章：Simulation and Algorithms for Financial Models
金融模型的模擬、方差縮減方法和計算機實驗。第二版擴充了本章，增加了說明方差縮減與對沖策略的數值實驗。
附錄
複習正態隨機變數、條件期望和凸集分離，之後是參考文獻和索引。
核心概念
第1–2章：離散時間與最優停止
- 自融資策略與套利：不需要外部資金的交易策略，以及無需淨投資即可獲得無風險利潤的可能。
- 鞅與完備市場：無套利價格的刻畫，以及每個未定權益都能複製的市場。
- Snell包絡與停時：把美式期權定價作為最優停止問題的工具。
第3–5章：連續時間與Black-Scholes
- 布朗運動與伊藤微積分：隨機積分與伊藤公式。
- 機率測度變換：把定價轉到風險中性測度的技術。
- 隱含波動率與區域性波動率：讓波動率隨執行價和期限變化的擴充套件。
- 定價與偏微分方程的聯絡：期權價格是拋物型方程的解，可以數值求解。
第6–9章：擴充套件
- 短期利率與遠期利率模型：Vasicek、Cox-Ingersoll-Ross和Heath-Jarrow-Morton。
- 跳躍擴散模型：由泊松過程驅動、含不連續性的資產價格。
- 結構化與強度型信用模型、Copula：刻畫違約及違約間相關性的方法。
- 蒙特卡羅模擬與方差縮減：數值估值及使其高效的技術。
評析
優點
- 簡明緊湊。 全書約250頁，提供所需的隨機分析並將其應用於衍生品定價的主要議題，而不是為隨機分析而講隨機分析。出版社稱其為對金融中所用隨機方法的紮實入門。
- 從離散時間起步。 鞅、套利、完備性和美式期權先在離散時間中出現，使經濟思想與連續時間的技術細節分開。
- 篇幅雖小，覆蓋面廣。 除Black-Scholes模型外，書中還涉及利率模型、跳躍模型、信用風險和模擬。
- 習題與綜合題。 出版社指出第二版增加了習題和綜合題，第1章以一道完整的建模題結束。
- 第二版有實質更新。 新增內容包括區域性波動率與Dupire公式、計價單位變換、遠期測度、遠期Libor模型和信用風險一章。
侷限
- 預設讀者具備機率基礎。 本書講授隨機分析，但要求讀者熟悉測度論機率、條件期望和鞅；只有一個簡短的附錄複習部分結果。
- 後面幾章篇幅短。 利率、跳躍和信用模型在這樣篇幅的書裡各佔一章，因此是入門而非完整論述。
- 計算方面的指導有限。 模擬一章是唯一涉及計算的章節，書中沒有提供大量實現材料。
在課程中的定位
在資產定價與衍生品書單中，這是篇幅較短、以數學為先的入門書之一。Björk的Arbitrage Theory in Continuous Time、Bingham與Kiesel的Risk-Neutral Valuation以及Musiela與Rutkowski的Martingale Methods in Financial Modelling覆蓋同一條主線但篇幅更長，其中最後一本體量大得多，對利率部分尤其深入。Hunt與Kennedy的Financial Derivatives in Theory and Practice是進入定價理論的另一條路徑。
Hull的Options, Futures, and Other Derivatives提供了Lamberton與Lapeyre沒有的市場和產品背景，而Hull較短的Fundamentals of Futures and Options Markets更為平易。Glasserman的Monte Carlo Methods in Financial Engineering以及Platen與Bruti-Liberati關於帶跳隨機微分方程數值解的書，在模擬方面遠遠超過本書最後一章。
如何使用本書
本書適合已有紮實機率與微積分基礎、希望從離散時間模型走向Black-Scholes及其擴充套件的讀者，想要一條簡潔而嚴格的路徑。它適合數學金融課程，或與偏市場的教材搭配自學。
先讀第1、2章，再讀構成核心的第3、4章。打算用偏微分方程做數值定價的讀者需要第5章。第6至8章彼此基本獨立，可按興趣選讀。第9章適合與任何程式設計練習配合。用附錄複習條件期望，並在進入連續時間之前做完習題，特別是第1章末的綜合題。