01 / 読書ガイド
読書ガイド
引用
Björk, T. (2019). Arbitrage Theory in Continuous Time (4th ed.). Oxford University Press. Oxford Finance Series.
章の要約
全38章は六つの部に分かれ、測度と積分、確率論、マルチンゲールと停止時間、凸双対性の付録が続く。出版社の紹介によれば、本書は裁定理論を古典的なデルタヘッジのアプローチと現代的なマルチンゲールのアプローチという二通りで十分に扱い、両者は互いに独立して学べる。第4版では不完全市場の章（第V部）と動的均衡理論の部（第VI部）が加わった。
第1章：序論
裁定理論の目的と金融派生商品の価格付けの問題を述べ、ヨーロピアン・コールオプションと通貨リスクの例でヘッジの動機を示す。
第I部、第2〜3章：離散時間モデル（二項モデル；より一般的な一期間モデル）
二項モデルは、一期間および複数期間での複製ポートフォリオと無裁定価格を導入する。第3章は一期間モデルを一般化し、マルチンゲール測度と完備性を取り入れる。
第II部、第4〜5章：確率解析（確率積分；確率微分方程式）
ウィーナー過程、確率積分、伊藤の公式、確率微分方程式と、確率微分方程式と偏微分方程式の関係を扱う。以降のすべての内容の数学的な道具である。
第III部、第6〜10章：ポートフォリオの動学からデルタヘッジまで
第6〜8章（ポートフォリオの動学；裁定価格付け；完備性とヘッジ）は、自己充足的ポートフォリオ、ブラック＝ショールズの価格方程式、完備性の条件を展開する。第9章「不完全市場入門」は第V部で扱う問題を予告し、第10章「パリティ関係とデルタヘッジ」はパリティ関係とデルタヘッジを扱う。
第III部、第11〜15章：マルチンゲール・アプローチ
第11章と第12章（裁定理論へのマルチンゲール・アプローチ；マルチンゲール・アプローチの数学）は、価格付けをマルチンゲール測度の下での期待値として書き直し、ギルサノフの定理を含む必要な数学を与える。第13章はこの観点からブラック＝ショールズ式を導き、第14章は多次元に拡張し、第15章は価値尺度（ニュメレール）の変更を導入する。
第III部、第16〜18章：配当；先渡と先物；通貨デリバティブ
マルチンゲールの手法を、配当を支払う株式、先渡と先物、外国為替オプションに応用する。
第III部、第19〜24章：金利
債券と金利（19）、短期金利モデル（20）、短期金利のマルチンゲール・モデル（21）、フォワードレート・モデル（22）、LIBOR 市場モデル（23）、ポテンシャルと正の金利（24）。期間構造のモデル化は短期金利からフォワードレート・モデルと市場モデルへと発展し、この部は正の金利に対するポテンシャル論的な手法で終わる。
第IV部、第25〜28章：最適制御と投資理論
確率最適制御（25）、最適消費と投資（26）、最適投資へのマルチンゲール・アプローチ（27）、最適停止理論とアメリカン・オプション（28）。動的計画法とマルチンゲール法がポートフォリオ選択に応用され、最適停止がアメリカン・オプションの価格付けを与える。
第V部、第29〜34章：不完全市場
不完全市場（29）、エッシャー変換と最小マルチンゲール測度（30）、f ダイバージェンスの最小化（31）、不完全市場でのポートフォリオ最適化（32）、効用無差別価格付けとその他の話題（33）、グッドディール境界（34）。完全なヘッジができないときは、特定のマルチンゲール測度か価格の範囲を選ばなければならない。
第VI部、第35〜38章：動的均衡理論
均衡理論：単純な生産モデル（35）、コックス＝インガソル＝ロス因子モデル（36）、コックス＝インガソル＝ロス金利モデル（37）、初期賦存の均衡：単位純供給（38）。価格と金利は、裁定だけでなく主体の最適化から導かれる。
主要概念
第I〜II部：離散モデルと確率解析
- 複製ポートフォリオ：派生商品のペイオフを再現する取引戦略で、それによって無裁定価格が決まる。
- 伊藤の公式：確率過程の関数に対する連鎖律で、価格方程式の導出に使う。
第III部：裁定理論
- 自己充足的ポートフォリオと完備性：外部からのキャッシュフローを要しない戦略と、すべての請求権が複製できる市場。
- マルチンゲール測度：割引価格がマルチンゲールとなる確率測度で、その下で派生商品の価格は期待値になる。
- ニュメレールの変更：別の価格を計算単位に選んで評価を簡単にすること。
- 期間構造モデル：短期金利モデル、フォワードレート・モデル、LIBOR 市場モデル。
第IV〜VI部：制御、不完全性、均衡
- 確率最適制御と最適停止：消費・投資問題とアメリカン・オプションの道具。
- 最小マルチンゲール測度とグッドディール境界：市場が不完全なときに価格を選ぶ方法。
- 均衡モデル：需給と主体の最適化によって価格が決まるモデル。
批判的分析
長所
- 理論への二つの並行する道。 出版社によれば、デルタヘッジとマルチンゲールの両アプローチが十分に扱われ、独立して学べる。数学が得意でない読者は前者を、より進んだ読者は後者を追える。
- 数学と経済的な解釈の両立。 紹介文は、すべての概念に直観的な経済的議論があること、新しい手法ごとに解き終えた例があること、多数の演習と各章の文献案内があることを強調している。
- 一冊で広い範囲。 オプション価格付け、金利モデル、アメリカン・オプション、最適投資、不完全市場、均衡に及び、必要な測度論、確率、マルチンゲール、凸双対性の背景を付録にまとめている。
- 大幅に拡張された第4版。 エッシャー変換、f ダイバージェンス、グッドディール境界といった不完全市場の話題が新しい章として加わり、動的均衡を扱う部が新設された。
短所
- 分量とレベル。 592ページで大学院生向けの本書は長い読み物であり、測度論、確率、凸双対性の付録は、後半の部がどれだけの数学に依存しているかを示している。
- 数値的な実装の章がない。 章題から見て理論に重点があり、キャリブレーション、シミュレーション、数値解法は独立した主題ではないため、数値計算の教科書で補う必要がある。
- 信用リスクを含まない。 目次にはデフォルトや信用デリバティブの章がなく、別の信用リスクの教科書で補う必要がある。
- 非常に長い第III部。 第III部は第6章から第24章まで、全章の半分に及び、デルタヘッジの道、マルチンゲールの道、金利の章が混在するため、読者には取捨選択の計画が必要である。
コースにおける位置づけ
資産価格付けとデリバティブのコースの中で、Björk は大学院レベルの理論書であり、市場志向の入門書と技術的な専門書の中間にある。Hull の2冊は制度と応用に重点がある。Fundamentals of Futures and Options Markets は微積分を使わずに商品を紹介し、Options, Futures and Other Derivatives は平易な数学で標準的な市場と評価の説明を与える。価格付けの結果の導出が必要になったら、その後に Björk を読むとよい。
数学の面では、Lamberton と Lapeyre の確率解析の金融への応用入門が、同じ道具に至る金融志向の別のルートである。Musiela と Rutkowski の Martingale Methods in Financial Modelling や Bingham と Kiesel の Risk-Neutral Valuation は同程度の大学院レベルの解説である。専門書は個々の話題を深める。LIBOR 市場モデルについては Rebonato、モンテカルロ法については Glasserman、ジャンプ付き確率微分方程式の数値解法については Platen と Bruti-Liberati である。Tuckman、Veronesi、Sundaresan の固定利付証券の教科書は第19〜23章の市場側の副読本であり、Duffie と Singleton の本は Björk が扱わない信用リスクを補う。
本書の使い方
出版社によれば、本書は経済学と数学の大学院生、数理ファイナンスを学ぶ学部上級生や実務家を対象としている。実際に必要なのは学部上級レベルの微積分と確率で、測度論の背景は付録が補う。
最初の通読は次のようにするとよい。第1〜3章で離散時間の直観をつかみ、第4〜5章で確率解析を学び、第6〜10章でデルタヘッジの道を通ってブラック＝ショールズに至る。現代的なアプローチを知りたい読者は第11〜15章に進み、その後は話題を選ぶ。配当・先物・通貨なら第16〜18章、金利なら第19〜24章である。第25〜28章は投資理論とアメリカン・オプションの授業に向き、第V部と第VI部は上級の読者向けである。
各手法に解き終えた例があり、演習がそれを延長するので、演習に取り組むこと。測度論の論点に出会ったら付録を参照する。