01 / 導讀
導讀
引用
Björk, T. (2019). Arbitrage Theory in Continuous Time (4th ed.). Oxford University Press. Oxford Finance Series.
章節概要
全書38章分為六部分，後面是測度與積分、機率論、鞅與停時、凸對偶四個附錄。出版社的介紹說，本書對套利理論作了兩種完整的處理，即經典的 delta 對沖方法和現代的鞅方法，二者可以彼此獨立地學習。第四版新增了關於不完全市場的各章（第五部分）和動態均衡理論部分（第六部分）。
第1章：引言
闡述套利理論的目標和金融衍生品定價問題，並以歐式看漲期權和一個貨幣風險的例子引出對沖。
第一部分，第2–3章：離散時間模型（二項式模型；更一般的單期模型）
二項式模型在單期和多期情形下引入複製組合和無套利定價。第3章推廣單期模型，引入鞅測度和完備性。
第二部分，第4–5章：隨機分析（隨機積分；隨機微分方程）
維納過程、隨機積分、伊藤公式和隨機微分方程，以及隨機微分方程與偏微分方程的聯絡。這是後面所有內容的數學工具。
第三部分，第6–10章：從組合動態到 delta 對沖
第6至8章（組合動態；套利定價；完備性與對沖）講解自融資組合、Black–Scholes 定價方程和完備性的條件。第9章「不完全市場入門」預告第五部分將處理的問題，第10章「平價關係與 delta 對沖」講平價關係和 delta 對沖。
第三部分，第11–15章：鞅方法
第11、12章（套利理論的鞅方法；鞅方法的數學）把定價改寫為鞅測度下的期望，並提供所需的數學，包括 Girsanov 定理。第13章從這一觀點推導 Black–Scholes 公式，第14章擴充套件到多維情形，第15章引入計價單位的變換。
第三部分，第16–18章：紅利；遠期與期貨合約；貨幣衍生品
將鞅方法應用於支付紅利的股票、遠期與期貨，以及外匯期權。
第三部分，第19–24章：利率
債券與利率（19）、短期利率模型（20）、短期利率的鞅模型（21）、遠期利率模型（22）、LIBOR 市場模型（23）和勢與正利率（24）。期限結構建模從短期利率發展到遠期利率模型和市場模型，該部分以研究正利率的勢理論方法結束。
第四部分，第25–28章：最優控制與投資理論
隨機最優控制（25）、最優消費與投資（26）、最優投資的鞅方法（27）以及最優停止理論與美式期權（28）。動態規劃和鞅方法用於投資組合選擇，最優停止則給出美式期權的定價。
第五部分，第29–34章：不完全市場
不完全市場（29）、Esscher 變換與最小鞅測度（30）、f-散度最小化（31）、不完全市場中的投資組合最佳化（32）、效用無差異定價及其他主題（33）以及好交易界（34）。當完美對沖不可能時，就必須選定某個特定的鞅測度或價格區間。
第六部分，第35–38章：動態均衡理論
均衡理論：一個簡單的生產模型（35）、Cox–Ingersoll–Ross 因子模型（36）、Cox–Ingersoll–Ross 利率模型（37）以及稟賦均衡：單位淨供給（38）。價格和利率由主體的最最佳化而不僅僅由套利推出。
核心概念
第一、二部分：離散模型與隨機分析
- 複製組合：重現衍生品支付的交易策略，由此確定其無套利價格。
- 伊藤公式：隨機過程函式的鏈式法則，用於推導定價方程。
第三部分：套利理論
- 自融資組合與完備性：不需要外部現金流的策略，以及每個未定權益都可複製的市場。
- 鞅測度：在該機率測度下貼現價格是鞅，衍生品價格等於期望。
- 計價單位的變換：選取另一種價格作為計價單位以簡化估值。
- 期限結構模型：短期利率模型、遠期利率模型和 LIBOR 市場模型。
第四至六部分：控制、不完全性與均衡
- 隨機最優控制與最優停止：用於消費-投資問題和美式期權的工具。
- 最小鞅測度與好交易界：在市場不完全時選擇價格的方法。
- 均衡模型：價格由供求以及主體的最最佳化決定。
評析
優點
- 通向理論的兩條平行路徑。 據出版社介紹，delta 對沖和鞅方法都得到完整處理，且可獨立學習，數學基礎較弱的讀者可以讀前者，較高階的讀者則可讀後者。
- 數學與經濟解釋並重。 介紹強調對所有概念都給出直觀的經濟論證，每種新技術都配有一個已解的例子，並有大量習題和每章的延伸閱讀。
- 一冊之內範圍廣泛。 本書涵蓋期權定價、利率模型、美式期權、最優投資、不完全市場和均衡，附錄彙集了所需的測度論、機率、鞅和凸對偶背景。
- 第四版大幅擴充。 新章節涵蓋 Esscher 變換、f-散度和好交易界等不完全市場主題，新增一部分講授動態均衡。
侷限
- 篇幅與難度。 全書592頁，面向研究生，是一部篇幅很長的讀物；關於測度論、機率和凸對偶的附錄表明後面幾部分依賴多少數學。
- 沒有數值實現的章節。 從章節標題看，本書側重理論；校準、模擬和數值方法不是獨立主題，因此需要用數值方法的教材來補充。
- 不含信用風險。 目錄中沒有違約或信用衍生品的章節，需要另一本信用風險教材來補足。
- 第三部分過長。 第三部分從第6章到第24章，佔全部章節的一半，並且混合了 delta 對沖路徑、鞅路徑和利率各章，讀者需要一個選讀計畫。
在課程中的定位
在資產定價與衍生品課程書單中，Björk 是一部研究生層次的理論教材，介於面向市場的入門讀物和技術性專著之間。Hull 的兩本書偏重機構和應用：Fundamentals of Futures and Options Markets 不用微積分就介紹各種工具，Options, Futures and Other Derivatives 以較易懂的數學給出標準的市場與估值敘述。想要定價結果的推導，則可在這之後讀 Björk。
在數學方面，Lamberton 和 Lapeyre 的隨機分析金融應用導論是一條面向金融、獨立的路線，通向同樣的工具。Musiela 和 Rutkowski 的 Martingale Methods in Financial Modelling 以及 Bingham 和 Kiesel 的 Risk-Neutral Valuation 是可比的研究生層次論述。專門著作則深化個別主題：Rebonato 論 LIBOR 市場模型，Glasserman 論蒙地卡羅方法，Platen 和 Bruti-Liberati 論帶跳的隨機微分方程的數值解。Tuckman、Veronesi 和 Sundaresan 的固定收益教材是第19至23章在市場側的配套讀物，Duffie 和 Singleton 的書則補上 Björk 沒有涵蓋的信用風險。
如何使用本書
據出版社介紹，本書面向經濟學和數學專業的研究生，以及學習數理金融的高年級本科生和專業人士。實際最低要求是高年級本科水平的微積分和機率；附錄提供測度論方面的背景。
第一遍可以這樣讀：第1至3章獲取離散時間的直觀，第4、5章學隨機分析，再讀第6至10章，經 delta 對沖路徑得到 Black–Scholes。想了解現代方法的讀者可繼續讀第11至15章，然後選擇主題：第16至18章講紅利、期貨與貨幣，第19至24章講利率。第25至28章適合投資理論和美式期權的課程，第五、六部分則面向高階讀者。
要做習題，因為每種技術都配有已解例子，習題在此基礎上延伸；遇到測度論問題時請查閱附錄。