01 / 読書ガイド
読書ガイド
引用
Boas, M. L. (2005). Mathematical Methods in the Physical Sciences (3rd ed.). Wiley.
章の要約
本書は15の章、864ページからなり、そのあとに参考文献、選択問題の解答、索引が続く。出版社は本書の目的を、上級の物理学・化学・工学の科目で必要とされる多くの数学分野それぞれについて、短期間に基本的な力を養う手助けをすることだと説明している。確かな土台となる深さは備えるが、数学専攻の学生向きの詳細な証明は省かれている。各章は「雑題（Miscellaneous Problems）」の問題群で終わる。
第1章：無限級数、べき級数
等比級数から始まり、正項級数の収束判定法、交代級数と条件収束級数、べき級数とその収束区間、展開を得るための技法へと進む。さらに級数近似の精度、級数のいくつかの用途、計算機の利用についての短い節も扱う。
第2章：複素数
実部と虚部、複素平面、複素代数、複素無限級数、オイラーの公式、冪と根、指数関数・三角関数・双曲線関数、対数と逆関数を扱い、応用の節がある。
第3章：線形代数
最も長い章（106ページ）である。行列、行基本変形、行列式から、ベクトル、直線と平面、行列演算と線形作用素、一次従属、特殊な行列と線形ベクトル空間を経て、固有値、固有ベクトル、対角化とその応用に至る。群への短い入門と、一般のベクトル空間の節で終わる。出版社によれば、行列の対角化は第3版で第10章からここに移され、線形ベクトル空間についての説明も詳しくなった。
第4–6章：偏微分／多重積分／ベクトル解析
多変数の微積分である。全微分、連鎖律、ラグランジュの未定乗数法を含む極大・極小、変数変換とライプニッツの公式、ヤコビアンを用いた2重積分・3重積分と面積分、そして三重積とグラディエントから線積分、グリーンの定理、発散定理とストークスの定理に至るベクトル解析を扱う。
第7章：フーリエ級数とフーリエ変換
周期関数、フーリエ係数、ディリクレ条件、複素形式、偶関数と奇関数、音への応用、パーセバルの定理、フーリエ変換を扱う。出版社によれば、フーリエ積分は第3版でここに移された。
第8章：常微分方程式
変数分離形と1階線形方程式、定数係数の2階線形方程式、ラプラス変換とそれを用いた方程式の解法、畳み込み、ディラックのデルタ関数、グリーン関数の簡単な紹介を扱う。ラプラス変換と拡充されたデルタ関数の扱いは、この版での新しい配置である。
第9–10章：変分法／テンソル解析
オイラー方程式、最速降下線、ラグランジュ方程式、等周問題を扱い、続いてデカルトテンソル、慣性テンソル、クロネッカーのデルタとレヴィ＝チビタ記号、擬ベクトル、曲線座標、非デカルトテンソルを扱う。出版社は、この版でテンソルの扱いが拡充されたとしている。
第11–12章：特殊関数／微分方程式の級数解：ルジャンドル、ベッセル、エルミート、ラゲール関数
ガンマ関数とベータ関数、誤差関数、漸近級数、スターリングの公式、楕円積分を扱い、続いてルジャンドルの方程式と多項式、フロベニウスの方法、ベッセル関数、昇降演算子を伴うエルミート関数とラゲール関数を扱う。
第13–15章：偏微分方程式／複素変数の関数／確率と統計
直交座標・円柱座標・球座標の設定でのラプラス方程式、拡散方程式、波動方程式、ポアソン方程式。解析関数、周回積分、ローラン級数、留数定理、等角写像。そして確率、確率変数、二項分布・正規分布・ポアソン分布、実験測定のための統計を扱う。
主要概念
第1–3章：級数、複素数、線形代数
- 級数の収束：無限級数が使えるかどうかを判定する検定法。
- オイラーの公式：複素指数関数と三角関数を結ぶ関係。
- 対角化：固有値と固有ベクトルを求めて行列の問題を簡単にすること。
第4–8章：微積分、ベクトル、フーリエ、微分方程式
- ラグランジュの未定乗数法：拘束条件のもとで量を最大または最小にすること。
- 発散定理とストークスの定理：ベクトル解析の積分関係式。
- フーリエ級数とフーリエ変換：周期関数の展開と、その変換への拡張。
- ラプラス変換とグリーン関数：微分方程式を解くための道具。
第9–15章：変分、テンソル、特殊関数、偏微分方程式、複素変数、確率
- オイラー方程式：積分が停留値をとるための条件。
- デカルトテンソル：慣性テンソルのように、決まった仕方で変換される量。
- ルジャンドル関数とベッセル関数：変数分離された偏微分方程式に現れる方程式の解。
- 留数定理：複素周回路を通して定積分を求めること。
批判的分析
長所
- 1冊で広い範囲を扱う。 目次は級数と線形代数から、偏微分方程式、複素解析、確率にまで及ぶ。章末の雑題の節は、話題をまたいだ練習になる。
- 設計上、方法が先。 出版社は、本書が応用よりも方法に重点を置き、重い証明なしに深さをめざし、「レシピ集ではない」と述べている。「級数の応用」「対角化の応用」「等角写像のいくつかの応用」といった節題から、応用の置かれる位置が分かる。
- 理由のある改訂。 第3版では内容の配置が見直された。対角化は線形代数の章に移り、基底関数の扱いはフーリエ、微分方程式、級数解、偏微分方程式の各章へと引き継がれ、ラプラス変換とデルタ関数は微分方程式の章に置かれた。計算機代数システムの有用性と落とし穴は全体を通して指摘されている。
- 後の科目に役立つ。 慣性テンソル、ラグランジュ方程式、昇降演算子、シュレーディンガー方程式を扱う節が、数学を力学や量子力学に結びつけている。
短所
- 証明は軽い。 出版社自身の説明によれば詳細な証明は省かれているので、収束や変換、超関数の厳密な正当化を求める読者には数学の教科書が必要である。
- 幅が深さを制限する。 いくつかの話題の扱いは短く、たとえば群は7ページの1つの節、ラプラス変換は3つの短い節にとどまる。大学院の授業には、より詳しい参考書が必要になる。
- 計算の内容が少ない。 数値計算法を扱う章はなく、計算機は注意書きと、第1章の短い「計算機の利用」の節に現れるだけである。
- 本書の範囲外の話題。 非線形力学とカオスは目次に現れない。
コースにおける位置づけ
Boas は、学部の物理学の課程の中ほどにいる学生のための、1冊で幅広く扱う数理手法の教科書である。Albano の Physics Today の書評（2001年）は、Hassani の Mathematical Methods 初版を、対象読者、進度、扱う分野の点で、当時第2版だった Boas に最も近いと判断した。Hassani は複素数を第18章まで遅らせ、テンソル、積分変換、カオス、確率の章を持つのに対し、Boas は複素数を第2章に置いている。
Boas の前には、Riley と Hobson の Foundation Mathematics for the Physical Sciences が学校レベルの数学から微積分、ベクトル、行列を積み上げ、Schey の Div, Grad, Curl, and All That は第6章の助けとなるベクトル解析への気軽な入口である。Boas の後には、Arfken、Weber、Harris の Mathematical Methods for Physicists が大学院レベルの参考書であり、Strogatz の Nonlinear Dynamics and Chaos は Boas が扱わない主題を扱っている。
本書の使い方
出版社は、微積分を2学期または3学期分学んだ学生を対象にしている。そのうえで本書は、線形代数や微分方程式は入門から始めるなど、他の道具を自前で築いていく。
第1章と第2章から始めるとよい。級数と複素数は、フーリエ級数の複素形式や複素変数の関数の章など、後の章で繰り返し現れる。第3–6章は物理の授業で使う線形代数と多変数の微積分を与え、最初の1学期にふさわしい。第7、8、12、13章（フーリエ法、微分方程式、特殊関数、偏微分方程式）は、電磁気学や量子力学の授業の核となる。第9、10、11、14、15章は、力学、相対論、量子力学、実験と並行して必要に応じて取り上げればよい。読みながら問題を解くこと。選択問題の解答は巻末にあり、計算機代数の落とし穴についての本書の注意書きは、機械の出力を手計算で確かめる合図として扱うとよい。