Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide（物理学者のための数学的方法：総合ガイド）

引用

Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2012). Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide (7th ed.). Academic Press.

章の要約

第7版は23章、約1,200ページで、冒頭の序文には「To the Student」「What's New」「Pathways through the Material」の各節がある。各章は参考文献（Additional Readings）の一覧で終わる。出版社は、この版が第6版の主要な特徴を保ちつつ、説明・理論・例のバランスをより慎重に取り、章のモジュール性を改善し、記法を更新し、問題解決を重視する方針をとっていると説明している。内容は、級数とベクトルから、線形代数と微分方程式、複素解析、特殊関数、群論、積分変換、積分方程式、変分法、確率へと進む。

第1–2章：Mathematical Preliminaries／Determinants and Matrices

第1章は前提となる内容を集める。無限級数と関数列、二項定理、数学的帰納法、ベクトル、複素数、導関数と極値、積分の計算、ディラックのデルタ関数である。第2章は行列式と行列を扱う。

第3–4章：Vector Analysis；Tensors and Differential Forms

ベクトルの性質、座標変換と回転、微分ベクトル演算子、積分定理、ポテンシャル論、曲線座標。第4章はテンソル解析、擬テンソルと双対テンソル、一般座標でのテンソル、ヤコビアン、微分形式とその微分・積分へ進む。

第5–6章：Vector Spaces／Eigenvalue Problems

関数空間、グラム–シュミットの直交化、演算子（自己随伴、ユニタリ）、変換と不変量。第6章は固有値方程式、エルミート問題と行列の対角化、正規行列を扱う。

第7–9章：Ordinary Differential Equations／Sturm-Liouville Theory／Partial Differential Equations

一階方程式、定数係数方程式、二階線形方程式、フロベニウス級数解、非斉次方程式と非線形方程式。続くシュトゥルム–リウヴィル理論は、エルミート演算子、固有値問題、変分法を扱う。偏微分方程式の章は、一階・二階の方程式、変数分離、ラプラス、ポアソン、波動、熱伝導の各方程式を扱う。

第10章：Green's Functions

一次元問題、および二次元・三次元の問題のグリーン関数。

第11–13章：Complex Variable Theory／Further Topics in Analysis／Gamma Function

コーシー–リーマン条件からコーシーの積分定理・積分公式、ローラン展開、特異点、留数計算までの複素関数論を、定積分や和の評価に用いる。第12章は直交多項式、ベルヌーイ数、オイラー–マクローリンの公式、漸近級数、最急降下法、分散関係を集める。第13章はガンマ関数、ディガンマ関数、ベータ関数、ゼータ関数、スターリング級数を扱う。

第14–16章：Bessel Functions／Legendre Functions／Angular Momentum

各種のベッセル関数と球ベッセル関数、ルジャンドル多項式、ルジャンドル陪関数と球面調和関数、そして角運動量演算子、結合、球テンソル、ベクトル球面調和関数。

第17–18章：Group Theory／More Special Functions

群の表現と物理における対称性、離散群と連続群、ローレンツ群とマクスウェル方程式のローレンツ共変性、空間群。第18章はエルミート、ラゲール、チェビシェフの関数、超幾何関数、ダイログ、楕円積分を加える。

第19–23章：Fourier Series／Integral Transforms／Integral Equations／Calculus of Variations／Probability and Statistics

フーリエ級数とギブス現象、畳み込み定理・信号処理への応用・離散フーリエ変換を含むフーリエ変換とラプラス変換、ノイマン級数とヒルベルト–シュミット理論を含む積分方程式、オイラー方程式と束縛付き変分問題、そして確率、二項分布・ポアソン分布・正規分布、統計。

主要概念

• 級数、ベクトル、複素数：予備的な道具立て（第1章）。
• テンソルと微分形式：ベクトル解析の座標に依存しない言語（第4章）。
• 自己随伴演算子と固有値問題：物理の多くの背後にある線形代数の構造（第5–6、8章）。
• フロベニウス級数とシュトゥルム–リウヴィル理論：線形微分方程式を解き、直交関数と関係づける（第7–8章）。
• グリーン関数：非斉次問題の解法（第10章）。
• 留数計算：複素関数の方法による積分と和の評価（第11章）。
• 特殊関数：ガンマ、ベッセル、ルジャンドル、エルミート、ラゲールなど（第13–15、18章）。
• 群論とローレンツ群：対称性（第17章）。
• 積分変換：フーリエ変換とラプラス変換（第20章）。

批判的分析

長所

• 一冊での圧倒的な範囲。 章立ては大学院レベルの物理で使う数学のほぼ全体に及び、微分形式、ローレンツ群を含む群論、積分方程式、分散関係など、短い本が省く話題も含む。MAA.orgの書評は、物理に役立つ数学についての徹底した手引きと評した。
• 問題解決志向。 出版社は、本書が問題解決のスキルと能動的な学習を重視し、多数の章末問題と、明確に示された定義・定理・証明を備えると述べている。Zentralblatt MATHの書評は、問題と演習の多さを評価した。
• モジュール化された章と案内。 第7版は改善されたモジュール式の章と、序文の「Pathways through the Material」を謳っており、どの章を使うかを選ぶ助けになる。
• 長く使える参考書。 各章末に参考文献があり、節が多く具体的なので、特定の結果を探して戻ってくることができる。

短所

• 分量と密度。 約1,200ページ、23章は一つのコースで使い切れる量ではなく、章を選んで使う参考書として最も活きる。
• 最初のコースではない。 第1章は級数、ベクトル、複素数、積分のコンパクトな復習であり、サイトは中級の数理物理（数学的方法）の履修を前提としている。その素養がない学生にはペースが速い。
• 数値的方法が少ない。 内容は解析的方法に充てられ、数値解析や計算の章はないため、これらには別の資料が必要である。

コースにおける位置づけ

数学的方法のコースの中で、Arfken、Weber、Harrisは包括的な大学院向けの教科書であり参考書である。RileyとHobsonのFoundation Mathematics for the Physical Sciencesは、高校レベルから微積分、ベクトル、行列、微分方程式の道具を組み立てる1年次の数学書であり、ScheyのDiv, Grad, Curl, and All Thatは静電気学を軸にした短いくだけたベクトル解析の本である。どちらもArfkenよりずっと前に読む。BoasのMathematical Methods in the Physical SciencesとHassaniのMathematical Methods: For Students of Physics and Related Fieldsは学部レベルの方法の本で、Boasは方法の完全な理論に出会う前に使えるように書かれ、Hassaniは各技法を物理の問題で動機づけている。StrogatzのNonlinear Dynamics and Chaosは別の主題であり、非線形系とカオスの入門である。

通常の進め方は、まずBoasまたはHassaniを読み、その後コースが必要とする話題をより深く扱うため、あるいは大学院での学習のためにArfken、Weber、Harrisを使うことである。

本書の使い方

微積分、線形代数、微分方程式、中級の数学的方法を履修した物理系の大学院生や上級の学部生向けで、研究者の参考書としても使える。

まず序文のpathwaysの節で道筋を選ぶ。典型的な大学院の順序は、第1–3章（予備、行列、ベクトル解析）、第5–8章（ベクトル空間、固有値問題、微分方程式とシュトゥルム–リウヴィル理論）、第11章（複素関数）、続いて特殊関数（第13–15章）とフーリエ変換（第19–20章）である。群論（17）、グリーン関数（10）、積分方程式（21）、変分法（22）、確率（23）はコースの必要に応じて加える。章末問題を解き、より深い扱いは参考文献で調べる。