非線形力学とカオス：物理・生物・化学・工学への応用

引用

Strogatz, S. H. (2024). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering (3rd ed.). Chapman & Hall/CRC.

章の要約

本書は全13章で、第1章は概観、残りは4つの部に分かれ、この版は616ページです。第2章から第13章までは各章末に演習問題があり、一部の問題の解答が巻末にまとめられています。第3版では蔵本モデルを扱う第13章が加わりました。以前の版は奇妙なアトラクターの章で終わります。

第1章：概観

「カオス、フラクタル、力学」と題する短い導入の章で、力学の小史、非線形であることの重要性、世界の力学的な見方を扱います。技術的な章に入る前の簡単な見取り図です。

第I部：1次元の流れ（第2–4章）

第2章「直線上の流れ」は1次元の1階方程式を幾何学的に導入し、不動点と安定性、個体群増加、線形安定性解析、存在と一意性、振動の不可能性、ポテンシャル、計算機による方程式の解法を扱います。第3章「分岐」は、サドルノード分岐、膨張（トランスクリティカル）分岐、ピッチフォーク分岐を、レーザーのしきい値、回転する輪の上の過減衰ビーズ、不完全分岐とカタストロフ、害虫の大発生に応用します。第4章「円周上の流れ」は、一様振動子と非一様振動子、過減衰振り子、ホタル、超伝導ジョセフソン接合を扱います。

第II部：2次元の流れ（第5–8章）

第5章「線形系」は平面の線形系を定義して分類し、「恋愛関係」のモデルも含みます。第6章「位相平面」は、相図、存在と一意性およびその位相的な帰結、不動点での線形化、ウサギとヒツジの競争モデル、保存系と可逆系、振り子、指数理論を展開します。第7章「リミットサイクル」は、例、閉軌道の排除、ポアンカレ＝ベンディクソンの定理、リエナール系、緩和振動、弱い非線形振動子を扱います。第8章「分岐再考」は平面での分岐に戻り、ホップ分岐、振動する化学反応、サイクルの大域的分岐、駆動振り子とジョセフソン接合のヒステリシス、結合振動子と準周期性、ポアンカレ写像を扱います。

第III部：カオス（第9–12章）

第9章「ローレンツ方程式」はカオス的な水車から始め、方程式の性質、奇妙なアトラクター上のカオス、ローレンツ写像、パラメータ空間、カオスを使った秘密メッセージの送信を調べます。第10章「1次元写像」は、不動点とクモの巣図、ロジスティック写像の数値的・解析的研究、周期の窓、リアプノフ指数、普遍性と実験、くりこみを扱います。第11章「フラクタル」は、可算集合と非可算集合、カントール集合、自己相似フラクタルの次元、ボックス次元、点次元と相関次元を扱います。第12章「奇妙なアトラクター」は、最も単純な例、エノン写像、レスラー系、化学カオスとアトラクターの再構成、強制二重井戸振動子を扱います。

第IV部：集団的振る舞い（第13章）

第13章「蔵本モデル」は、支配方程式、秩序パラメータによる可視化、回転系での平均場結合、定常状態、自己無撞着性、残された問題を扱います。出版社は、このモデルを初等的な手段で解ける数少ない高次元の非線形系の一つと述べています。

主要概念

第2–4章：1次元の流れ

• 不動点と安定性：1階方程式の平衡点と、それを幾何学的に、あるいは線形化で判定する方法。
• 分岐：パラメータの変化に伴う流れの定性的な変化。サドルノード型、膨張型、ピッチフォーク型がある。
• 円周上の流れ：状態が位相である振動子（振り子やジョセフソン接合など）。

第5–8章：2次元の流れ

• 相図：平面内の軌道の図で、不動点によって分類される。
• リミットサイクル：孤立した閉軌道。ポアンカレ＝ベンディクソンの定理が平面の力学に制約を与える。
• ホップ分岐：不動点から振動が生まれること。
• ポアンカレ写像：連続的な流れを離散写像に落とすこと。

第9–12章：カオス

• 奇妙なアトラクター：有界で非周期的、初期値に敏感なアトラクター（ローレンツ系など）。
• 周期倍分岐とくりこみ：ロジスティック写像でカオスに至る道筋とその普遍性。
• リアプノフ指数：初期条件への敏感さの尺度。
• フラクタル次元：自己相似性、ボックス次元、相関次元。

第13章：集団的振る舞い

• 秩序パラメータ：結合振動子の同期の度合いを測る量。
• 平均場結合：蔵本モデルを解く自己無撞着性の議論。

批判的分析

長所

• 明示された方針。 出版社は、解析的方法、具体例、幾何学的直観を重視し、1階の流れからローレンツ方程式、反復写像、周期倍分岐、くりこみ、フラクタル、奇妙なアトラクターへと体系的に理論を展開すると説明しています。
• 応用が章立てに組み込まれている。 節の題名には、レーザーのしきい値、害虫の大発生、ホタル、ジョセフソン接合、振動する化学反応、ウサギとヒツジの競争、水車、化学カオスなど、複数の分野の例が並びます。副題の物理・生物・化学・工学という幅は目次にも反映されています。
• 無理のない前提知識。 第3版の紹介では、多変数の微積分、線形代数、初歩の物理に慣れていることを求め、確率、複素解析、フーリエの考え方は本の中で一から扱うか、読み飛ばしたり仮に受け入れたりしてよいと述べています。
• 第3版の更新。 紹介には、気候モデルに関する概念的な演習、SIR感染症モデルの更新、セルコフ解糖モデルの修正、約50件の新しい参考文献、新しい蔵本モデルの章が挙げられています。

短所

• 版による違い。 第13章と新しい演習は第3版にしかなく、古い版の読者の本は第12章で終わります。
• 低次元への集中。 内容は直線・円周・平面上の流れ、1次元写像、少数の3次元系に集中しています。第13章は多数の振動子の集まりを扱う唯一の章で、偏微分方程式の章や、アトラクターの再構成を超えて実測の時系列を解析する章は目次にありません。
• 解析中心。 計算にも触れています（第2章の計算機による解法、第10章のロジスティック写像の数値的研究）が、本全体はプログラミングではなく解析と幾何学を軸に組まれているため、計算を重視する授業では別に数値演習が必要です。

コースにおける位置づけ

この数学的方法のリストの中で、Strogatz は主題を絞った専門的な一冊です。Boas の Mathematical Methods in the Physical Sciences と Hassani の Mathematical Methods は、級数、線形代数、複素変数、ベクトル解析、微分方程式を扱う学部向けの総合的な教科書で、Strogatz の第5–6章が使う常微分方程式と線形代数の基礎を提供します。Arfken、Weber、Harris ははるかに広い範囲を扱う大学院向けの参考書で、Schey の Div, Grad, Curl, and All That や Riley と Hobson の Foundation Mathematics for the Physical Sciences は、ベクトル解析や基本的な道具立てのための、より初期段階の本です。

方法論の授業のあとか、その微分方程式の部分と並行して Strogatz を読み、その内容を力学の定性的な理論へと発展させるのが良いでしょう。

本書の使い方

本書は、多変数の微積分、線形代数、入門物理を終えた、物理・応用数学・生物・化学・工学の学部生および大学院初年次の学生向けです。

実践的な進め方は次のとおりです。

• 中核： 第2–4章で1次元の全体像、第5–7章で位相平面とリミットサイクル、続いて第9章と第10章でローレンツ方程式と1次元写像。
• 関心に応じて選択： 平面での分岐は第8章、フラクタルと奇妙なアトラクターは第11–12章、同期は第13章。
• 1学期のコース： 第1–10章で不動点からカオスまでの完結した流れになります。時間があれば第11章か第12章を加えます。
• 演習： 各章で何問か解きます。一部の問題の解答は巻末にあります。ローレンツ方程式とロジスティック写像の章では計算機での探究を併用します。