電気力学入門

引用

Griffiths, D. J. (2024). Introduction to Electrodynamics (5th ed.). Cambridge University Press.

章の要約

本書は12の章と三つの付録からなり、第1章の前に短い「Advertisement」（序論）がある。ここでは電気力学を、力学の四つの領域と四つの基本的な力の中に位置づけている。第1章は数学の準備で、第2〜6章は静的な場、第7〜12章は時間とともに変化する場を扱う。章内の問題は該当する節を読んだ直後に解くためのもので、長めの問題は章末にあり、巻末には少数の解答が載っている。

第1章：ベクトル解析

ベクトル代数と三重積、微分（勾配、発散、回転、積の公式、2階微分）、積分と、勾配・発散・回転についての基本定理、曲線座標、ディラックのデルタ関数、そしてヘルムホルツの定理とポテンシャルを含むベクトル場の理論。

第2章：静電気学

クーロンの法則と、離散的および連続的な電荷がつくる電場、Eの発散と回転、ガウスの法則とその応用、電位とポアソン方程式・ラプラス方程式・境界条件、静電気学における仕事とエネルギー、そして導体とコンデンサー。

第3章：ポテンシャル

1次元・2次元・3次元のラプラス方程式、一意性定理、鏡像法、直交座標と球座標での変数分離、そして多重極展開と双極子の場。

第4章：物質中の電場

誘電体の分極と束縛電荷、分極した物体のつくる場、電気変位Dとその境界条件（新たに加わった「結晶の曖昧さ」の節を含む）、そして線形誘電体（感受率と誘電率、境界値問題、エネルギーと力）。

第5章：静磁気学

ローレンツ力の法則と電流、ビオ・サバールの法則、Bの発散と回転およびアンペールの法則、静磁気学と静電気学の比較、そして磁気ベクトルポテンシャルとその境界条件・多重極展開。

第6章：物質中の磁場

磁化、反磁性体・常磁性体・強磁性体、束縛電流と磁化された物体のつくる場、補助場H、そして線形媒質と非線形媒質。

第7章：電気力学

起電力：オームの法則と運動起電力。電磁誘導：ファラデーの法則、誘導電場、インダクタンス、磁場のエネルギー。マクスウェル方程式（マクスウェルがアンペールの法則をどう修正したか、磁荷、物質中の方程式、境界条件を含む）。第5版では「回転する磁石の場」の節が加わった。

第8章：保存則

電荷とエネルギー（連続の式とポインティングの定理）、運動量（電気力学におけるニュートンの第3法則、マクスウェルの応力テンソル、角運動量を含む）、そして磁気力が仕事をしない理由。

第9章：電磁波

1次元の波、真空中の電磁波とそのエネルギー・運動量、物質中の波（垂直入射と斜め入射での反射と透過）、導体中での吸収と分散および誘電率の周波数依存性、そして導波管や同軸線路の導波。

第10章：ポテンシャルと場

ポテンシャルによる定式化、ゲージ変換、クーロンゲージとローレンツゲージ、連続分布の遅延ポテンシャル、イェフィメンコの方程式、そして運動する点電荷のリエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルと場。

第11章：放射

双極子放射（電気双極子、磁気双極子、任意の源を含む）、点電荷の放射パワー（ラーモアの公式とリエナールの公式）、そして放射反作用（エイブラハム・ローレンツの公式と荷電粒子の自己力を含む）。

第12章：電気力学と相対性理論

特殊相対性理論、相対論的力学、そして相対論的電気力学。相対論的効果としての磁気、場の変換、場のテンソル、テンソル記法、相対論的ポテンシャル。

付録

A. 曲線座標でのベクトル解析、B. ヘルムホルツの定理、C. 単位。本書はSI単位を用いており、付録Cは主な結果をガウス単位に換算するための「辞書」を与える。

主要概念

第1〜4章：数学と静電気学

• ガウスの法則とEの回転：静電場を決める二つの方程式。
• 境界値の方法：ラプラス方程式に対する一意性定理、鏡像法、変数分離。
• 多重極展開：遠方のポテンシャルを、単極子、双極子、さらに高次の項の級数として表す。
• 束縛電荷とD：ガウスの法則の中で分極を扱う方法。

第5〜6章：静磁気学

• アンペールの法則とベクトルポテンシャル：Bの回転の方程式と、それを導くポテンシャル。
• 束縛電流とH：分極に対応する磁気の量。

第7〜8章：マクスウェル方程式と保存則

• ファラデーの法則と変位電流：完全な方程式の組を与える二つの補正。
• ポインティングベクトルと応力テンソル：場がエネルギーと運動量を運ぶ仕組み。

第9〜12章：波、放射、相対性理論

• EとBの波動方程式：電磁波とその速さ。
• 遅延ポテンシャル：以前の時刻の条件に依存する場。
• ラーモアの公式：加速する電荷が放射するパワー。
• 場のテンソル：EとBを統一した相対論的記述。

批判的分析

長所

• 形式ばらず読みやすい書き方。 Griffithsは序文で、自分のアプローチを「おそらくほとんどの本より形式ばらない」ものと述べ、難しい考えを面白く、取り組みやすくすることを目指している。本書は大学3、4年次向けの課程のために書かれている。
• よく考えられた問題。 問題は二種類ある。章内に置かれたものは該当する節の直後に解くべきもので、長いものは章末にある。特に難しい問題には印が付けられ、新版ではMathematicaに対応した、場や力線の描画、粒子の軌跡の追跡のためのコンピューターを使う問題が加わった。
• 微妙な点への率直な扱い。 第5版は、分極の定義における結晶の曖昧さ、電場、とくに磁場の力線の問題点、磁性材料の古典的な説明における内在的スピンの扱いにくい位置づけについての解説を加えている。
• 標準的な順序で入りやすい。 序文にあるとおり、第1〜7章で1学期の課程になり、全体は2学期に収まる。American Journal of Physicsへの参照は、本文の論点について読みやすい文献を示している。

短所

• 最初からベクトル解析に大きく依存する。 第1章は丸ごと数学の章で、後の章（球座標での変数分離、第12章のテンソル）はそれに頼っている。多変数の微積分に慣れていない読者は苦労する。
• 古典論に限られる。 「Advertisement」は、最終章の相対性理論を除き、本書が古典力学の範囲にとどまり、光子はほとんど現れず、場の量子的な振る舞いの本格的な扱いはないと述べている。
• 解答が少ない。 問題の解答は「特にふさわしいと思われるとき」にしか与えられない。完全な解答集は教員にのみ提供されるので、独習では仲間や他の資料が要る。
• 記法が独特。 Griffithsは直交座標の単位ベクトルをx̂、ŷ、ẑと書き、円柱座標での軸からの距離にsを使い、源点から場の点へのベクトルに筆記体の文字を使う。気づけば分かりやすいが、序文自身が警告するとおり、筆記体の文字は普通の距離rと間違えやすい。

コースにおける位置づけ

Griffithsは、この電磁気学の書目の中で中級にあたる、大学高学年向けの教科書である。これより前には、入門物理の課程で学ぶ電気と磁気の最初の課程がある。たとえばOpenStaxのUniversity Physics Volume 2（クーロンの法則から電磁波までの無料の微積分ベースの課程）や、静電気学と特殊相対性理論から磁気力を導くことで知られる、微積分ベースの最初の本格的な電磁気学の課程であるPurcellとMorinのElectricity and Magnetismである。FleischのA Student's Guide to Maxwell's Equationsは、四つの方程式を一つずつ説明する短い併読書で、第2章、第5章、第7章の前や並行して読める。

大学院レベルの続きはJacksonのClassical Electrodynamicsで、場、放射、荷電粒子の力学を厳密に論じる。BittencourtのFundamentals of Plasma Physicsは、荷電粒子の力学とプラズマ波に関心のある人のための発展的な読み物である。

本書の使い方

本書は、微積分ベースの入門物理と多変数微積分を終え、微分方程式にも多少なじみのある、物理、工学、数学の学生のためのものである。2学期の電磁気学課程の主教科書として使える。

実用的な進め方：

• **順に学ぶ中核：**第1〜5章。第1章は、使いながら身につける参考として扱う。以降のどのページでもベクトル解析の基本定理が使われる。
• **第1学期の終点：**第6章と第7章で締めくくり、マクスウェル方程式に到達する。
• **第2学期：**第8〜12章を順に学ぶ。波の基礎だけが必要な学生は第9章で止めてよい。第10〜12章（ポテンシャル、放射、相対性理論）は本書で最も高度な部分である。
• **任意：**第3章の多重極展開と球座標での変数分離、および第9.5節の導波の内容は、2度目の読書に回してよい。

章内の問題はすぐに解き、感嘆符の印の付いた問題は残りの問題の後で試し、Mathematicaまたは同等のソフトウェアがあればコンピューターを使う問題も解く。印刷されている解答を確かめ、問題が好奇心を刺激したらAmerican Journal of Physicsの参考文献を読む。ガウス単位を使う本を読むときには、付録Cが役立つ換算の案内になる。