Number Theory: A Very Short Introduction（数論：超入門）

引用

Wilson, R. (2020). Number Theory: A Very Short Introduction. Oxford University Press.

章の要約

本書はオックスフォード大学出版局の Very Short Introductions シリーズの一冊で、約150ページに9章を収め、短い読書案内と索引がつく。ユークリッド、フェルマー、オイラー、ガウスの肖像から素数計数関数のグラフまで36点の図版の一覧があり、説明のどれほど多くを図と例が担っているかがわかる。出版社は本書を、古代から現代までの古典的な数論の主要な分野を歴史的な文脈の中で紹介するものと説明している。

第1章：数論とは何か

冒頭の章は、本書がこれから答える一連の問いを投げかける。2月に日曜日が5回あるのはどの年か、4,294,967,297 という数の何が特別か、辺の長さがすべて整数で一辺が29の直角三角形はいくつあるか、与えられた余りを満たす卵の数はいくつか、といった問いである。ほかにも、トランプの山を元の順序に戻すには何回シャッフルが必要か、素数はどのようにクレジットカードの安全を守っているか、リーマン予想とは何か、が問われる。章は整数、平方数、直角三角形と、ユークリッド、フェルマー、オイラー、ガウスという創始者たちを紹介する。

第2章：掛け算と割り算

整除性、割り算の規則、最大公約数（歯車や周期ゼミの生活環で説明される）、奇数の和や奇数の平方といったパターン、そして九去法。

第3章：素数の時間の数学

素因数分解、メルセンヌ素数と記録的な素数の探索、そして素数と正多角形の作図との結びつき。

第4章：合同式、時計、暦

12時間時計と7日時計を通じて提示される剰余算術と、第1章で投げかけられたような暦の問題。

第5章：さらに三角形と平方数

2x + 3y = 13 のような一次方程式から、章の題が予告する三角形と平方数についての問いまでのディオファントス方程式。章にはバシェによるディオファントスの『算術』の版と、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明が登場する。

第6章：トランプから暗号へ

ビーズのネックレスやトランプのシャッフルで説明されるべきと余りについての結果から、公開鍵暗号へと進む。出版社は公開鍵暗号を18世紀の素数に関する結果と結びつけている。

第7章：予想と定理

素数の分布を扱い、素数計数関数 π(x) と x/log x を比べる。あわせて素数についての有名な予想と定理を扱う。

第8章：100万ドルを手に入れる方法

リーマンの1859年の論文、ゼータ関数、そして複素平面におけるその零点の位置、すなわちリーマン予想。これが章の題と、第1章で約束された100万ドルの背後にある問題である。

第9章：その後

リーマン予想の後、読書案内の前に置かれた短い締めくくりの章。

主要概念

第1〜3章：基礎

• 整除性と最大公約数：整数どうしの基本的な関係と、公約数の求め方。
• 素因数分解：すべての整数は素数から組み立てられる。出版社の言葉でいえば素数は「構成要素」である。
• メルセンヌ素数：2ⁿ − 1 の形の素数で、記録的な素数の源。

第4〜6章：合同式、方程式、暗号

• 合同式：時計や暦をモデルにした余りの算術。
• ディオファントス方程式：整数で解くべき方程式で、一次方程式からフェルマーの最終定理まで。
• 公開鍵暗号：素数の性質に基づく安全な暗号。

第7〜8章：大局から見た素数

• 素数計数関数 π(x)：x 以下の素数の個数で、x/log x で近似される。
• リーマン予想：素数の細かな分布を支配するゼータ関数の零点についての予想。

批判的分析

長所

• まず問いから。 第1章は暦、卵、鳥、トランプについての具体的なパズルから始まり、残りの章でそれらに答えるのに必要な理論を展開する。このため、主題への最初の一歩として入りやすい。
• 歴史を糸として。 出版社は、数学史家でもある Wilson が問題をその歴史的な背景の中に位置づけ、ユークリッド、フェルマー、オイラー、ガウスの仕事に依拠していることを強調している。バシェ版の『算術』、リーマンの1859年の論文、記念切手といった図版がそれを支える。
• 現代の話題にまで届く。 150ページの中で、整除性から公開鍵暗号、ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明、リーマン予想にまで進む。
• 短く自己完結している。 シリーズの形式と短い読書案内のおかげで、授業の前や授業中に数回に分けて読み切れる。

短所

• 概観であって授業用の教科書ではない。 目次に演習の項目はなく、自分で定理を証明しなければならない学生にとって教科書の代わりにはならない。
• 深さより広さ。 平方剰余の相互法則、原始根、連分数、代数的整数論といった話題は章の題に現れない。ワイルズの証明や素数定理のような大きな結果は、この長さでは説明はできても証明はできない。
• その先の学習への案内は少ない。 読書案内は2ページほどなので、次の本を選ぶには授業の読書リストが必要になる。

コースにおける位置づけ

Wilson の本は、この数論のリストにおける方向づけのための一冊である。授業が始まる前に数晩で読んでも、最初の数週間と並行して読んでもよく、主題がどこへ向かうのかが見える。自然な次の本は Joseph Silverman の A Friendly Introduction to Number Theory で、同じ主題の多く（ピタゴラス数、素数、合同式、RSA、フェルマーの最終定理）を演習と証明を伴って扱う。David Burton の Elementary Number Theory と、Kraft と Washington の An Introduction to Number Theory with Cryptography はより本格的な授業用教科書で、後者は暗号を中心に据えている。

Ireland と Rosen の A Classical Introduction to Modern Number Theory、Hardy と Wright の An Introduction to the Theory of Numbers は、最初の授業を終えたずっと後に読む本である。素数の分布とリーマン予想を扱う Wilson の章は、それらの本、とくに Hardy と Wright が深く扱う解析的な問いを最初に感じ取らせてくれる。

本書の使い方

本書は学生だけでなく一般の読者に向けても書かれており、学校で学ぶ算数と代数だけを前提としている。数学専攻を志す学生、素数や暗号に興味のある他分野の学生、そして数論の授業を始めようとしている人に向いている。

• 通して読む。 章は第2章の整除性から、素数、合同式、方程式、暗号を経て素数の分布へと一本の道をたどるので、順に読むのが自然である。
• まず第1章の問いに挑む。 先へ読む前に各パズルを試み、それからどの章がそれに答えているかを確かめる。
• 鉛筆を手元に置く。 最大公約数、時計の上での余り、小さなディオファントス方程式など、出てくる小さな数値例を自分で計算する。
• その後、教科書へ移る。 読み終えたら Silverman の本か授業の教科書を始め、同じ話題が出てきたときには背景を知るために Wilson の歴史的な章に戻る。
• 読書案内を使う。 数論の歴史やリーマン予想についての本を探す出発点にする。