Number Theory: A Very Short Introduction（数论：牛津通识读本）

引用

Wilson, R. (2020). Number Theory: A Very Short Introduction. Oxford University Press.

章节概要

本书是牛津大学出版社"牛津通识读本"（Very Short Introductions）系列中的一本小书：约150页，共九章，后附简短的延伸阅读书目和索引。书中列有36幅插图，从欧几里得、费马、欧拉和高斯的肖像到素数计数函数的图像，可见大量讲解是借助图片和例子完成的。出版社称本书介绍古代和现代古典数论的主要领域，并将其置于历史背景之中。

第1章：什么是数论？

开篇一章抛出一连串本书将要解答的问题：哪些年份的二月有五个星期日？4,294,967,297 这个数有什么特别之处？有多少个边长都是整数、且有一边长为29的直角三角形？满足给定余数条件的鸡蛋有多少个？还有：一副牌要洗多少次才能恢复原来的顺序？素数如何保护我们的信用卡安全？黎曼猜想是什么？本章介绍整数、平方数和直角三角形，以及欧几里得、费马、欧拉和高斯这几位奠基者。

第2章：乘与除

整除性、带余除法规则、最大公因数（借助齿轮和周期蝉的生命周期加以说明）、奇数之和与奇数平方等规律，以及弃九法。

第3章：素数时间的数学

素因数分解、梅森素数与创纪录素数的搜寻，以及素数与正多边形作图之间的联系。

第4章：同余、时钟与日历

借助12小时时钟和7天"时钟"介绍模算术，并讨论第1章中提出的那类日历问题。

第5章：再谈三角形与平方数

丢番图方程：从 2x + 3y = 13 这样的一次方程，到章名所预示的关于三角形和平方数的问题。本章还涉及巴歇翻译的丢番图《算术》以及怀尔斯对费马大定理的证明。

第6章：从纸牌到密码学

以珠子项链和洗牌为例说明关于幂与余数的结果，进而引向公钥密码学；出版社把公钥密码学与一个18世纪的素数结果联系起来。

第7章：猜想与定理

素数的分布：把素数计数函数 π(x) 与 x/log x 加以比较，并讨论关于素数的著名猜想与定理。

第8章：如何赢得一百万美元

黎曼1859年的论文、ζ函数及其零点在复平面上的位置，即黎曼猜想——也就是本章标题和第1章所许诺的"一百万美元"背后的问题。

第9章：余波

在黎曼猜想之后、延伸阅读之前的一个简短收尾章。

核心概念

第1–3章：基础

• 整除性与最大公因数：整数之间的基本关系以及求公因数的方法。
• 素因数分解：每个整数都由素数构成；用出版社的话说，素数是数系的"基石"。
• 梅森素数：形如 2ⁿ − 1 的素数，创纪录素数的来源。

第4–6章：同余、方程与密码

• 同余：以时钟和日历为模型的余数算术。
• 丢番图方程：要求整数解的方程，从一次方程一直到费马大定理。
• 公钥密码学：基于素数性质的安全密码。

第7–8章：宏观视角下的素数

• 素数计数函数 π(x)：不超过 x 的素数个数，可用 x/log x 近似。
• 黎曼猜想：关于ζ函数零点的猜想，它决定着素数分布的精细规律。

评析

优点

• 从问题出发。 第1章以关于日历、鸡蛋、鸟和纸牌的具体谜题开篇，其余各章再发展解答这些问题所需的理论。这使它成为一本引人入胜的入门读物。
• 以历史为线索。 出版社强调，身为数学史家的 Wilson 把问题置于历史背景之中，并取材于欧几里得、费马、欧拉和高斯的工作。巴歇版《算术》、黎曼1859年的论文以及纪念邮票等插图也印证了这一点。
• 一直讲到现代课题。 在150页内，本书从整除性一路讲到公钥密码学、怀尔斯对费马大定理的证明和黎曼猜想。
• 短小而自成一体。 丛书的体例和简短的延伸阅读书目，使它很容易在课程开始前或进行中分几次读完。

局限

• 是概览而非课程教材。 目录中没有习题部分，对于必须自己证明定理的学生来说，它不能替代教科书。
• 重广度而轻深度。 二次互反律、原根、连分数或代数数论等主题没有出现在章名中。像怀尔斯的证明和素数定理这样的重大结果，在这样的篇幅里只能描述而无法证明。
• 对后续学习的指引有限。 延伸阅读书目只有两页左右，学生需要借助课程书单来选择下一本书。

在课程中的定位

Wilson 的书是本数论书单中的导览读物。可以在课程开始前用几个晚上读完，也可以与最初几周的课程同步阅读，以了解这门学科的走向。自然的下一本是 Joseph Silverman 的 A Friendly Introduction to Number Theory，它通过习题和证明处理许多相同的主题（毕达哥拉斯三元组、素数、同余、RSA、费马大定理）。David Burton 的 Elementary Number Theory 以及 Kraft 和 Washington 的 An Introduction to Number Theory with Cryptography 是更完整的课程教材，后者以密码学为中心。

Ireland 和 Rosen 的 A Classical Introduction to Modern Number Theory 以及 Hardy 和 Wright 的 An Introduction to the Theory of Numbers 要等到学完第一门课程之后很久才读。Wilson 关于素数分布和黎曼猜想的章节，能让读者初步感受到这些书（尤其是 Hardy 和 Wright）深入讨论的那些分析性问题。

如何使用本书

本书既面向学生也面向一般读者，只要求学校里的算术和代数知识。它适合准备攻读数学的学生、对素数和密码感兴趣的其他专业学生，以及即将开始学习数论课程的人。

• 从头读到尾。 各章沿着一条主线展开：从第2章的整除性，经过素数、同余、方程和密码学，一直到素数分布，因此按顺序阅读最为自然。
• 先尝试第1章的问题。 往下读之前先试着解每个谜题，再看是哪一章给出了答案。
• 手边备一支铅笔。 遇到小的数值例子（最大公因数、时钟上的余数、简单的丢番图方程）时自己动手算一算。
• 然后转向教材。 读完后开始读 Silverman 的书或课程教材；当相同主题出现时，再回到 Wilson 的历史性章节了解背景。
• 利用延伸阅读书目，作为寻找数论史和黎曼猜想相关书籍的起点。