A Friendly Introduction to Number Theory（やさしい数論入門）

引用

Silverman, J. H. (2017). A Friendly Introduction to Number Theory (4th ed., Classic Version). Pearson. (Fourth edition first published 2012.)

章の要約

第4版は印刷された46章からなり、その大半は短い（多くは5〜10ページ）。さらに4つの章と2つの付録が無料でオンライン公開されている。著者のサイトによれば、印刷部分は ix + 409 ページ、オンライン部分は56ページである。序論には教員向けの手引きとコンピュータについての議論があり、ix ページのフローチャートが章どうしの依存関係を示す。本書は、理系以外の学生を大学の数学に引き込むために作られたブラウン大学の授業 Math 42 から生まれた。

第1〜4章：数論とは何か、ピタゴラス数、ピタゴラス数と単位円、高次のべきの和とフェルマーの最終定理

本書は数の種類の一覧（平方数、素数、三角数、完全数、フィボナッチ数）と、それらについての典型的な問いの紹介から始まる。続いてピタゴラス数を、まず代数的に、次に単位円上の有理点を通じて幾何的に分類し、高次のべきではどうなるかを問うてフェルマーの最終定理へ進む。

第5〜7章：整除性と最大公約数、一次方程式と最大公約数、素因数分解と算術の基本定理

ユークリッドの互除法、一次方程式 ax + by = c の解法、素因数分解の一意性。

第8〜11章：合同式、合同式とべきとフェルマーの小定理、合同式とべきとオイラーの公式、オイラーのφ関数と中国剰余定理

m を法とする算術。背理法と、次数 d の多項式は p を法として高々 d 個の根しかもたないという事実も扱う。これらの章でフェルマーの小定理、オイラーの公式、φ関数、中国剰余定理が扱われる。

第12〜15章：素数、素数を数える、メルセンヌ素数、メルセンヌ素数と完全数

素数が無限に存在すること（第1章は、4を法として1および3に合同な素数についての証明を第12章と第21章で与え、ディリクレの一般的な定理も論じると予告している）、素数の個数、メルセンヌ素数と完全数との結びつき。

第16〜19章：m を法とするべきと逐次平方、m を法とする k 乗根の計算、べき・根・「破れない」暗号、素数判定とカーマイケル数

高速な剰余べき乗と m を法とする根の計算から、第18章の RSA 公開鍵暗号へ進み、その後に素数判定法とカーマイケル数が続く。

第20〜23章：p を法とする平方、−1 は p を法として平方か、2 はどうか、平方剰余の相互法則、平方剰余の相互法則の証明

平方剰余とルジャンドル記号、−1 と 2 という特別な場合、平方剰余の相互法則（ヤコビ記号を含む）、そしてアイゼンシュタインによる証明。序文は第23章をかなり難しく、省略可能な章としている。

第24〜25章：どの素数が二つの平方数の和か、どの数が二つの平方数の和か

二つの平方数の和となる素数についてのフェルマーの定理と、そのすべての整数への拡張。

第26〜29章：1、2、3のように簡単、オイラーのφ関数と約数の和、p を法とするべきと原始根、原始根と指数

第4版で新たに加わった数学的帰納法の章、続いて約数の和。その後に原始根と指数が続き、コスタス配列への応用がある。学生は原始根定理を本書で最も難しいものの一つと感じるため、この版では後ろへ移された。

第30〜34章：方程式 X⁴ + Y⁴ = Z⁴、平方三角数再訪、ペル方程式、ディオファントス近似、ディオファントス近似とペル方程式

4乗数は二つの4乗数の和にならないことの証明、続いて平方三角数からペル方程式へ進み、ディオファントス近似の助けを借りてそれを解く。

第35〜37章：数論と虚数、ガウス整数と一意分解、無理数と超越数

ガウス整数とその一意分解、そして無理数と超越数の章。

第38〜40章：二項係数とパスカルの三角形、フィボナッチのウサギと線形漸化数列、ああ、なんと美しい関数

二項係数とパスカルの三角形、フィボナッチ数列をはじめとする線形漸化数列（p を法とするフィボナッチ数列の周期を含む）、そしてビッグオー記法を導入し微積分を用いる章。

第41〜46章：3次曲線と楕円曲線、有理点の少ない楕円曲線、p を法とする楕円曲線上の点、p を法とするねじれ点の集まりと悪い素数、欠損の評価とモジュラー性のパターン、楕円曲線とフェルマーの最終定理

楕円曲線への入門で、有理点、p を法とする点、悪い素数、欠損の評価、モジュラー性に関わるパターンを扱う。最後はワイルズによるフェルマーの最終定理の証明のいくつかの考え方の概略で終わる。

第47〜50章（オンライン）：連分数のあべこべの世界、連分数とペル方程式、母関数、べきの和

連分数とそのペル方程式への利用、母関数、べきの和についての無料のオンライン章。小さな合成数の素因数分解と素数表の付録がある。

主要概念

第1〜11章：基礎

• ピタゴラス数と有理点：a² + b² = c² の整数解は単位円上の有理点に対応する。
• ユークリッドの互除法：最大公約数を計算し、整数の一次方程式を解く。
• 算術の基本定理：素因数分解の一意性。
• 合同式、フェルマーの小定理、オイラーの公式：剰余算術の基本的な道具。
• 中国剰余定理：互いに素な法をもつ連立合同式を解く。

第12〜19章：素数と暗号

• メルセンヌ素数と完全数：2ⁿ − 1 の形の素数と、偶数の完全数との結びつき。
• 逐次平方と m を法とする k 乗根：RSA の背後にある計算。
• カーマイケル数と素数判定：フェルマーテストをすり抜ける合成数と、より強い判定法。

第20〜29章：平方剰余と原始根

• 平方剰余の相互法則：p が q を法として平方かどうかと、q が p を法として平方かどうかを結ぶ法則。
• 二つの平方数の和：どの素数とどの整数が a² + b² と書けるか。
• 原始根：そのべきが p を法とする 0 でないすべての剰余を与える数。

第30〜46章：ディオファントス方程式とその先

• ペル方程式：x² − Dy² = 1。ディオファントス近似を通じて解かれる。
• ガウス整数：a、b が整数である複素数 a + bi で、これも一意分解をもつ。
• 楕円曲線：有理数上でも p を法としても点を調べられる3次曲線で、フェルマーの最終定理の証明の中心にある。

批判的分析

長所

• 証明の前に発見がある。 序文は、読者を数学的に考えるよう導くことを目標に掲げる。数値例をパターンについて調べ、予想を立てるのに使い、それから初めて定理を証明する。著者が無料公開している第1〜6章は、実験の後に証明が続くこの型に沿っている。
• 前提は最小限だが、本物の数学に届く。 必要なのは高校の代数だけである。著者によれば、微積分が本質的に使われるのは省略可能な第40章と第49章だけである。それでも本書は平方剰余の相互法則、ペル方程式、ガウス整数、楕円曲線にまで到達する。
• 柔軟な授業のために作られている。 序論によれば、本書には約2学期分の内容がある。第1〜11章を基礎とし、第18章の RSA まで進むことを勧め、その後の1学期分の道筋をいくつか示している。その中には計算機科学や暗号に進む学生向けに設計されたものもある。依存関係のフローチャートと、第23章が省略可能であることが選択を容易にする。
• 開かれた演習と賢明な計算機の使い方。 多くの演習は意図的に開かれた形（「…についてできるだけ多くのことを述べよ」）になっており、著者は学生が最初は戸惑うかもしれないと注意している。著者は既製のソフトウェアに頼らず、学生が自分でアルゴリズムをプログラムするよう勧め、計算機を使う演習やプロジェクトには印をつけている。

短所

• 章が短いぶん章の数が多い。 印刷された章が46あり、いくつかの話題は複数の章に分かれているので、断片的に感じられることがある。教員は道筋を計画するのにフローチャートを必要とする。
• 力のある学生にはゆっくりに感じられるかもしれない。 例を中心にした親しみやすい文体は初学者に向いている。合同式をすでに知っている学生には最初の章はのんびりしたものに感じられるかもしれず、本書は簡潔な参考書ではない。
• 一部の内容はオンラインのみ。 連分数、母関数、べきの和は印刷版から外された。著者によれば、低価格の印刷版の中には第21章が省かれ以降の章番号がずれたものがあり、その章はオンラインで無料公開されている。

コースにおける位置づけ

Silverman の本は、この数論のリストにおける親しみやすい最初の教科書である。Robin Wilson の Number Theory: A Very Short Introduction は手早い概観で、全体像をつかむために先に読むことができる。その後 Silverman が、実際に数学をすることを教える。David Burton の Elementary Number Theory は、歴史的にも計算の面でもより幅広い、より標準的な学部向け教科書である。Kraft と Washington の An Introduction to Number Theory with Cryptography は、暗号を Silverman の第16〜19章よりも中心に据えたい学生に向いている。

Ireland と Rosen の A Classical Introduction to Modern Number Theory と、Hardy と Wright の An Introduction to the Theory of Numbers が自然な次の段階である。Ireland と Rosen は代数的整数論へと進み、Hardy と Wright は古典的で包括的な大著である。Silverman のガウス整数と楕円曲線の章は、Ireland と Rosen が形式的に展開する話題へのやさしい予告編になる。

本書の使い方

本書は、数学専攻以外の学生を含む最初の数論の授業を受ける学部生と、独学者のために書かれている。前提は高校の代数と実験する意欲で、簡単な電卓があれば十分である。プログラムを書ける人は、アルゴリズムを実装することが勧められている。

• 中心： 第1〜11章、続いて著者の勧めどおり第18章の RSA まで進む。
• 後半を選ぶ： 序論は、平方剰余の相互法則・平方数の和・ペル方程式・連分数（第20〜26章、31〜34章、47〜48章）や、フェルマー方程式と楕円曲線（第30〜34章、41〜46章）といった道筋を示している。計算機科学向けの道筋は第19〜22章、26〜29章、38〜40章である。第23章は飛ばしてよい。
• 開かれた演習に取り組む。 証明を探す前に、データを集め、特殊な場合を試し、一般化を探す。
• 著者のウェブサイトを使う。 オンライン章、正誤表、長めの計算機演習のためのデータがある。