01 / 導讀
導讀
引用
Wilson, R. (2020). Number Theory: A Very Short Introduction. Oxford University Press.
章節概要
本書是牛津大學出版社「牛津通識讀本」（Very Short Introductions）系列中的一本小書：約150頁，共九章，後附簡短的延伸閱讀書目和索引。書中列有36幅插圖，從歐幾里得、費馬、尤拉和高斯的肖像到質數計數函數的影像，可見大量講解是藉助圖片和例子完成的。出版社稱本書介紹古代和現代古典數論的主要領域，並將其置於歷史背景之中。
第1章：什麼是數論？
開篇一章丟擲一連串本書將要解答的問題：哪些年份的二月有五個星期日？4,294,967,297 這個數有什麼特別之處？有多少個邊長都是整數、且有一邊長為29的直角三角形？滿足給定餘數條件的雞蛋有多少個？還有：一副牌要洗多少次才能恢復原來的順序？質數如何保護我們的信用卡安全？黎曼猜想是什麼？本章介紹整數、平方數和直角三角形，以及歐幾里得、費馬、尤拉和高斯這幾位奠基者。
第2章：乘與除
整除性、帶餘除法規則、最大公因數（藉助齒輪和週期蟬的生命週期加以說明）、奇數之和與奇數平方等規律，以及棄九法。
第3章：質數時間的數學
質因數分解、梅森質數與創紀錄質數的搜尋，以及質數與正多邊形作圖之間的聯繫。
第4章：同餘、時鐘與日曆
藉助12小時時鐘和7天「時鐘」介紹模算術，並討論第1章中提出的那類日曆問題。
第5章：再談三角形與平方數
丟番圖方程：從 2x + 3y = 13 這樣的一次方程，到章名所預示的關於三角形和平方數的問題。本章還涉及巴歇翻譯的丟番圖《算術》以及懷爾斯對費馬大定理的證明。
第6章：從紙牌到密碼學
以珠子項鍊和洗牌為例說明關於冪與餘數的結果，進而引向公鑰密碼學；出版社把公鑰密碼學與一個18世紀的質數結果聯繫起來。
第7章：猜想與定理
質數的分佈：把質數計數函數 π(x) 與 x/log x 加以比較，並討論關於質數的著名猜想與定理。
第8章：如何贏得一百萬美元
黎曼1859年的論文、ζ函數及其零點在複平面上的位置，即黎曼猜想——也就是本章標題和第1章所許諾的「一百萬美元」背後的問題。
第9章：餘波
在黎曼猜想之後、延伸閱讀之前的一個簡短收尾章。
核心概念
第1–3章：基礎
- 整除性與最大公因數：整數之間的基本關係以及求公因數的方法。
- 質因數分解：每個整數都由質數構成；用出版社的話說，質數是數系的「基石」。
- 梅森質數：形如 2ⁿ − 1 的質數，創紀錄質數的來源。
第4–6章：同餘、方程與密碼
- 同餘：以時鐘和日曆為模型的餘數算術。
- 丟番圖方程：要求整數解的方程，從一次方程一直到費馬大定理。
- 公鑰密碼學：基於質數性質的安全密碼。
第7–8章：宏觀視角下的質數
- 質數計數函數 π(x)：不超過 x 的質數個數，可用 x/log x 近似。
- 黎曼猜想：關於ζ函數零點的猜想，它決定著質數分佈的精細規律。
評析
優點
- 從問題出發。 第1章以關於日曆、雞蛋、鳥和紙牌的具體謎題開篇，其餘各章再發展解答這些問題所需的理論。這使它成為一本引人入勝的入門讀物。
- 以歷史為線索。 出版社強調，身為數學史家的 Wilson 把問題置於歷史背景之中，並取材於歐幾里得、費馬、尤拉和高斯的工作。巴歇版《算術》、黎曼1859年的論文以及紀念郵票等插圖也印證了這一點。
- 一直講到現代課題。 在150頁內，本書從整除性一路講到公鑰密碼學、懷爾斯對費馬大定理的證明和黎曼猜想。
- 短小而自成一體。 叢書的體例和簡短的延伸閱讀書目，使它很容易在課程開始前或進行中分幾次讀完。
局限
- 是概覽而非課程教材。 目錄中沒有習題部分，對於必須自己證明定理的學生來說，它不能替代教科書。
- 重廣度而輕深度。 二次互反律、原根、連分數或代數數論等主題沒有出現在章名中。像懷爾斯的證明和質數定理這樣的重大結果，在這樣的篇幅裡只能描述而無法證明。
- 對後續學習的指引有限。 延伸閱讀書目只有兩頁左右，學生需要藉助課程書單來選擇下一本書。
在課程中的定位
Wilson 的書是本數論書單中的導覽讀物。可以在課程開始前用幾個晚上讀完，也可以與最初幾週的課程同步閱讀，以瞭解這門學科的走向。自然的下一本是 Joseph Silverman 的 A Friendly Introduction to Number Theory，它透過習題和證明處理許多相同的主題（畢氏三元數、質數、同餘、RSA、費馬大定理）。David Burton 的 Elementary Number Theory 以及 Kraft 和 Washington 的 An Introduction to Number Theory with Cryptography 是更完整的課程教材，後者以密碼學為中心。
Ireland 和 Rosen 的 A Classical Introduction to Modern Number Theory 以及 Hardy 和 Wright 的 An Introduction to the Theory of Numbers 要等到學完第一門課程之後很久才讀。Wilson 關於質數分佈和黎曼猜想的章節，能讓讀者初步感受到這些書（尤其是 Hardy 和 Wright）深入討論的那些分析性問題。
如何使用本書
本書既面向學生也面向一般讀者，只要求學校裡的算術和代數知識。它適合準備攻讀數學的學生、對質數和密碼感興趣的其他專業學生，以及即將開始學習數論課程的人。
- 從頭讀到尾。 各章沿著一條主線展開：從第2章的整除性，經過質數、同餘、方程和密碼學，一直到質數分佈，因此按順序閱讀最為自然。
- 先嚐試第1章的問題。 往下讀之前先試著解每個謎題，再看是哪一章給出了答案。
- 手邊備一支鉛筆。 遇到小的數值例子（最大公因數、時鐘上的餘數、簡單的丟番圖方程）時自己動手算一算。
- 然後轉向教材。 讀完後開始讀 Silverman 的書或課程教材；當相同主題出現時，再回到 Wilson 的歷史性章節瞭解背景。
- 利用延伸閱讀書目，作為尋找數論史和黎曼猜想相關書籍的起點。