Understanding Analysis（解析学を理解する）

引用

Abbott, S. (2015). Understanding Analysis (2nd ed.). Springer. Undergraduate Texts in Mathematics.

章の要約

各章は、動機となる問いを投げかける打ち解けた「議論」の節で始まり、定義と証明からなる簡潔な本体を展開し、演習が議論を担うプロジェクトの節と短いエピローグで終わる。第8章は全体がプロジェクトで構成されている。

第1章：実数

√2 の無理性を、より大きな数の体系が必要になる理由として示すところから始まり、いくつかの準備を経て完備性公理を述べ、その帰結を引き出す。最後に濃度とカントールの定理を扱い、実数全体が非可算であることにも触れる。

第2章：数列と級数

導入の議論では、交代調和級数の項を並べ替えると和が変わることを示し、有限の算術が無限和にはそのまま通用しないことを警告する。続いて数列の極限、代数的極限定理と順序極限定理、単調収束定理、部分列とボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理、コーシーの判定条件、無限級数の性質を展開し、二重和と級数の積に関するプロジェクトを置く。

第3章：R の基本的な位相

長さがゼロでありながら非可算であるカントール集合から出発し、開集合と閉集合、コンパクト集合、完全集合と連結集合を扱い、ベールの定理をプロジェクトとする。序文は、この章が後の章に厳密に必要な分量より長いことを認めている。

第4章：関数の極限と連続性

ディリクレの関数とトーマエの関数を手がかりに、関数の極限を慎重に定義する。連続関数、コンパクト集合上の連続関数、中間値の定理を扱い、プロジェクトではどのような集合が関数の不連続点の集合になりうるかを問う。

第5章：導関数

導入の議論は、導関数は必ず連続かという問いを、xⁿ sin(1/x) という関数族を試金石にして検討する。導関数が中間値の性質をもつこと（ダルブーの定理）を証明し、平均値の定理を展開し、いたるところ微分不可能な連続関数の構成で締めくくる。

第6章：関数列と関数項級数

第2版で新しくなった導入の議論は、オイラーがべき級数を操作して 1/n² の和を求めた経緯を語る。一様収束（微分との関係を含む）、関数項級数、べき級数、そして第2版で章の中核に移されたテイラー級数を扱い、ワイエルシュトラスの近似定理のプロジェクトで締めくくる。

第7章：リーマン積分

導入の議論は、積分を原始関数から切り離したとき、それをどう定義すべきかを問う。積分の定義、不連続点をもつ関数の積分、基本的な性質を経て、微分積分学の基本定理を証明する。序文によれば、章を貫くテーマは積分可能な関数を連続性によって特徴づけることであり、プロジェクトのリーマン可積分性に関するルベーグの判定条件でそれが完結する。

第8章：発展的な話題

独立したチュートリアル形式の6つの節からなる。一般化リーマン積分、距離空間とベールのカテゴリー定理、オイラーの和、階乗関数の創出（ガンマ関数。広義積分と積分記号下の微分を含む）、フーリエ級数、Q からの R の構成である。

主要概念

第1–2章：実数／数列と級数

• 完備性公理：上に有界な空でない実数の集合は必ず最小上界をもつという公理で、R を Q から区別する性質。
• 濃度：1対1対応によって無限集合の大きさを比べる考え方で、カントールの定理へとつながる。
• ボルツァーノ–ワイエルシュトラスの定理：有界な数列は必ず収束する部分列をもつ。

第3–5章：位相、連続性、導関数

• コンパクト集合：その中のどの数列も、集合内の点に収束する部分列をもつような集合。第4章ではこうした集合上の連続関数を調べる。
• 中間値の定理：区間上の連続関数は、任意の2つの値の間のすべての値をとる。
• ダルブーの定理：導関数は、連続でない場合でも中間値の性質をもつ。

第6–7章：関数列と関数項級数／リーマン積分

• 一様収束：定義域全体で同じ速さで関数が収束すること。極限が連続性を保ち、追加の仮定のもとで微分可能性も保つための条件となる。
• テイラー級数：関数の導関数から作られるべき級数と、それが実際に元の関数に収束するのはいつかという問い。
• 微分積分学の基本定理：積分と微分を結びつける2部構成の定理。
• ルベーグの判定条件：有界な関数がリーマン可積分であるのは、その不連続点の集合が測度ゼロであるときに限る。

第8章：発展的な話題

• 一般化リーマン積分：クルツヴァイルとヘンストックによるリーマン積分の修正で、すべての導関数を積分できる。
• 距離空間：距離関数を備えた集合で、より一般的なベールのカテゴリー定理の舞台となる。

批判的分析

長所

• 定理より先に問いがある。 序文は、解析学を魅力的にしている問い、すなわちカントール集合は無理数を含むか、導関数は連続か、積分可能か、滑らかな関数はそのテイラー級数に等しいか、といった問いに焦点を当てることを目標に掲げる。各章の冒頭のページもそれを裏づけており、Scott Sciffer はオーストラリア数学会の Gazette に寄せた初版の書評で、各章の動機づけとなる議論の節と、先の話題を指し示すエピローグを特に挙げている。
• 初学者のために書かれた証明。 著者は、簡潔さを意図的に犠牲にして詳しさを優先したこと、ほとんどの証明に方針や関連する定義についての説明を添えたこと、型どおりの議論は演習に回したことを述べている。出版社が転載する書評もその叙述を高く評価しており、Choice（2015年10月）の D. Robbins は並外れて明快だと述べ、MAA Reviews（2015年6月）の Mark Hunacek は本書を1変数の学部向け解析学教科書の「ゴールドスタンダード」と呼んだ。
• プロジェクトと改訂された演習。 第2版では、初版から残した約200問に約150問の新しい演習が加わった。その中には、予想の真偽を判定させたり、存在しないかもしれない例を探させたりするムーア法型の演習も含まれる。さらにオイラーの和、ワイエルシュトラスの近似定理、階乗関数という3つの新しいプロジェクトが加わった。Ryszard Pawlak は zbMATH の第2版の書評で、この教育的な構成を本書の際立った特徴として取り上げている。
• 調整しやすい。 序文は、すべてのプロジェクトの節（1.6、2.8、3.5、4.6、5.4、6.7、7.6、および第8章全体）を任意とし、後の定理が議論の節に依存しないことを明記し、第3章のうち本書の残りに必要な部分を説明している。

短所

• 意図的に狭い範囲。 本書が扱うのは1つの実変数の実数値関数だけである。序文は、複素数は一切使わないこと、また結果を網羅的に集めることは目指していないことを述べている。多変数の解析学や参照用の教科書が必要な学生には別の本が要る。
• 積分はルベーグの手前で止まる。 主な対象はリーマン積分である。ルベーグの判定条件はプロジェクト、ルベーグ積分はエピローグで概略が示されるだけで、一般化リーマン積分は第8章のチュートリアルとして登場する。
• 距離空間はプロジェクトのみ。 一般の距離空間は第8章の1節にしか現れないため、最初から距離空間の位相を扱いたい授業にとっては、中核の内容が実数直線に限られることになる。
• 独習者向けの手厚い支援は少ない。 出版社は解答集を教員向けの資料としており、プロジェクトの節では多くの重要な議論が意図的に演習として残されている。

コースにおける位置づけ

このコースのリストで、Abbott は1変数の解析学を初めて厳密に学ぶ授業の主教科書となる本である。より穏やかな2冊が、それぞれ別の形で本書への準備になる。Lara Alcock の How to Think About Analysis は定義の読み方と証明の組み立て方を説く学習ガイドとされ、R. P. Burn の Numbers and Functions は順序立てた問いによって同じ話題へ読者を導く。まだ証明をあまり書いたことのない学生には、どちらも Abbott の前に、あるいは並行して読むのに適している。

そのあとでより包括的で形式的な扱いへ進むには、Bartle と Sherbert の Introduction to Real Analysis と Walter Rudin の Principles of Mathematical Analysis が自然な次の一歩である。Abbott の序文は、Robert Bartle の著作が本書全体の着想の源であったことを認め、8.1節を一般化リーマン積分に関する Bartle の論文に基づかせている。序文はまた、本書を、より一般の空間上の複素数値関数から始まる2つ目の授業への準備と位置づけている。それはより形式的な解析学の教科書が扱う広い舞台であり、エピローグと第8章の距離空間の節がそこへの橋渡しになる。

本書の使い方

本書は厳密な解析学に初めて触れる学部生向けに書かれており、3・4年生を主な対象とする Springer の Undergraduate Texts in Mathematics シリーズの1冊である。序文は、1変数の微積分の結果をしっかり理解していることを唯一の前提とし、線形代数の授業で得られる証明を書く経験は貴重だが必須ではないとしている。

序文の授業構成の助言（12–14週の学期を想定）に沿った1学期の計画は次のとおりである。

• 中核： 第1–7章の本体の節。完備性公理から微分積分学の基本定理まで。
• 必要なら削る： 第3章のうち後の章が依存するのは開集合と閉集合、点列コンパクト性だけである。開被覆によるコンパクト性や完全集合・連結集合は省略でき、中間値の定理には直接的な証明が用意されている。
• 議論の節： 授業で扱わなくても読んでおくこと。後で必要になる定理は証明されないが、本書の残りで使われる例（カントール集合、ディリクレの関数）が導入される。
• プロジェクト： 1つか2つを選んで最後までやり通すとよい。著者はそれを期末試験の代わりやグループ課題として使っている。第8章の話題の中では8.5節のフーリエ級数が最も長い。

独習では、議論の節の問いに自分で答えようとしてから先へ進み、ムーア法型の問題を含む演習を理解度の主な試金石とするとよい。解答は教員向けなので、証明を確かめるには学習仲間や Alcock のガイドのような副読本が役立つ。測度論へ進む学生は、第7章のエピローグと8.1節を丁寧に読んでおきたい。