数学解析の原理

引用

Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill.

章の要約

第3版は11章から成る。Rudinはまず実数と複素数を構成し、次に距離空間の位相を展開し、続いて1変数の解析（数列、連続性、微分、積分、関数列）、最後に多変数の解析、微分形式、ルベーグ積分へと進む。本書は簡潔で緊密な論述で知られており、1950年代初めに、著者がMITで解析を教えた経験から書かれ、1964年と1976年に改訂された。

背景と主張

Rudinは、数学の美しい分野を、よく整理された読みやすい形で、簡潔かつ効率的に、完全で正しい証明とともに提示することが目的だったと述べている。本書は古典的な実解析を現代的な公理的スタイルで扱い、距離空間の位相を極限、連続性、コンパクト性の土台とする。

第1章：実数系と複素数系

順序集合、体、上限性を用いて、実数と複素数を構成し特徴づける。第3版では、デデキント切断による実数の構成が付録に移された。

第2章：基礎的な位相

有限集合、可算集合、非可算集合、距離空間、コンパクト集合、完全集合、連結集合を扱う。この章は実数直線を距離空間として扱い、本書の残りで使われる位相の語彙を与える。

第3章：数列と級数

収束数列、部分列、コーシー列、特別な数列、続いて級数：根判定法や比判定法などと、絶対収束と条件収束。

第4章：連続性

関数の極限と連続性、不連続点の種類、コンパクト集合や連結集合上の連続関数の性質。

第5章：微分

導関数、平均値の定理、ロピタルの定理、高階導関数。

第6章：リーマン・スティルチェス積分

リーマン・スティルチェス積分を定義し、その性質を確立する。求長可能な曲線上での使用も含む。

第7章：関数列と関数項級数

一様収束と、それが連続性、積分、微分に及ぼす帰結、続いて同程度連続性とストーン・ワイエルシュトラスの定理。

第8章：いくつかの特殊関数

べき級数、指数関数、対数関数、三角関数、およびその複素関数への拡張。この章には代数学の基本定理とフーリエ級数も含まれる。

第9章：多変数の関数

線形変換と多変数の微分（逆関数定理と陰関数定理を含む）、および高次元での積分。

第10章：微分形式の積分

微分形式、1の分割、ストークスの定理。ストークスの定理はベクトル解析のいくつかの古典的な定理を一般化する。

第11章：ルベーグ理論

測度とルベーグ積分、可測関数、二乗可積分関数の空間。

主要概念

第1–4章：基礎

• 上限性と順序体：実数を特徴づける性質（第1章）。
• 距離空間、コンパクト集合、連結集合：位相の枠組み（第2章）。
• コーシー列と収束判定法：完備性と級数（第3章）。
• 連続性とコンパクト性の関係（第4章）。

第5–8章：1変数の解析

• 平均値の定理（第5章）。
• リーマン・スティルチェス積分（第6章）。
• 一様収束とストーン・ワイエルシュトラスの定理（第7章）。
• 指数関数、対数関数、三角関数（第8章）。

第9–11章：多変数とルベーグ理論

• 逆関数定理と陰関数定理（第9章）。
• 微分形式とストークスの定理（第10章）。
• ルベーグ測度と積分、およびL^2（第11章）。

批判的分析

長所

• 簡潔さと厳密さ。 証明は完全で簡潔、周到に配列されている。MAAは本書を学部図書館向けの推薦図書リストであるBasic Library Listに挙げており、本書によってRudinは1993年にレロイ・P・スティール数学解説賞を受賞した。
• 数からルベーグ積分までの一貫した道筋。 第2章の位相は第3章から第7章でくり返し使われ、同じ枠組みが多変数の章にも引き継がれるので、本書は主題の寄せ集めではなく1つの論証として読める。
• 到達範囲。 最初の授業を超えて、微分形式とストークスの定理、ルベーグ理論の入門を含むので、後ろの章は2つ目の解析の授業に使える。
• 補助資料がある。 バークレーのGeorge Bergmanが書いた第1–7章の補足的な注釈と演習がオンラインにあり、多くの簡潔な議論を理解する助けになる。

短所

• 初読には簡素。 文体は密で動機づけがほとんどないため、初学者や独習者にはより穏やかな補助教材が必要になりそうだ。
• 理論のみ。 本書は解析の理論についての本である。物理、経済、計算からの例を求める読者は、ほかで探す必要がある。
• ルベーグ理論は1章のみ。 最終章は入門であり、測度論の本格的な授業ではない。複素解析も第8章などの一部にしか現れない。

コースにおける位置づけ

Rudinは古典的で厳密な教科書であり、証明を中心とした最初の解析の授業のあとに読むもので、その授業そのものとして読むものではない。How to Think About Analysis は定義の読み方や証明の組み立て方を説く学習ガイド、Numbers and Functions: Steps into Analysis は問いに導かれる入門書、Understanding Analysis は各主題の動機づけをしてから理論を展開する学部向けの教科書である。Rudinが凝縮されすぎていると感じる学生には、これらのどれも向いている。

Introduction to Real Analysis と Yet Another Introduction to Analysis は、リストにある他の解析の教科書で、紹介文では同じ中核的な内容への厳密な入門と位置づけられている。このリストの中でRudinは、中核的な内容を微分形式とルベーグ理論まで最も遠くへ進める1冊である。

本書の使い方

微積分の確かな基礎と証明を読んだ経験のある数学専攻の学生に向いており、たとえばオナーズ課程や大学院の初めに適する。易しい最初の読み物ではないが、鉛筆を持ってゆっくり読めば報われる。

実践的な進め方：

• 最初の通読： 第1–7章を順に読む。第1章は、初読では体と順序の公理の部分を軽く読んでよい。第2・3章はそのほかすべての土台であり、最も時間をかける価値がある。
• 1変数の解析： 第4–8章。証明を一行ずつ追い、Rudinが省いた中間の段階を書き出す。
• 2つ目の授業： 第9–11章。多変数関数、微分形式、ルベーグ理論。
• 併用： 動機づけのためのより穏やかな教科書と、追加の注釈と演習のためのBergmanの補足資料。