A Classical Introduction to Modern Number Theory（現代整数論への古典的入門）

引用

Ireland, K., & Rosen, M. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). Springer.

章の要約

Graduate Texts in Mathematics シリーズの一冊である本書の第2版は全20章からなる。シュプリンガーは、初等整数論と高度な主題の体系的学習との橋渡しをするもので、必要なのは基本的な抽象代数の知識だけであり、全体を通じて歴史的発展を重視し、重要な結果を比較的初等的な証明で扱うと説明している。第2版は初版を訂正し、二つの章を加えた。有理数体上の楕円曲線に対するモーデル–ヴェイユの定理の完全な証明と、楕円曲線の数論における最近の進展の概観である。

第1–4章：一意分解；一意分解の応用；合同；U(ℤ/nℤ)の構造

冒頭の章は初等的な道具を整える。一意分解とその帰結、続いて合同と法nの単数群の構造である。第2章は、第1章で示された素数の重要性に明示的に基づいている。

第5–6章：平方剰余の相互法則；二次ガウス和

第5章は平方剰余の相互法則、すなわち本書で最初の相互法則を扱い、第6章は二次ガウス和を扱う。

第7–8章：有限体；ガウス和とヤコビ和

第7章は有限体を扱い、第8章はガウス和とヤコビ和を扱う。

第9章：三次と四次の相互法則

第9章は第5章の平方剰余の相互法則から、三次と四次の相互法則へと進む。

第10–11章：有限体上の方程式；ゼータ関数

この二つの章は、有限体上の方程式、次いでゼータ関数を研究する。現代整数論の幾何学的な考え方へつながる部分である。

第12–14章：代数的整数論；二次体と円分体；スティッケルベルガー関係とアイゼンシュタインの相互法則

第12章は代数体とその整数環の一般論を与える。第13章は、ガウス、アイゼンシュタイン、クンマー、ディリクレらが二次形式、高次の相互法則、フェルマーの最終定理との関連で研究した二種類の体を扱う。第14章は、題名に挙げられた円分体に関する二つの重要な定理を証明する。

第15–16章：ベルヌーイ数；ディリクレのL関数

第15章はヤコブ・ベルヌーイが発見した有理数の列を導入し、第16章はディリクレのL関数を扱う。

第17章：ディオファントス方程式

この章は、それまでの手法をディオファントス方程式に応用する。

第18–19章：楕円曲線；モーデル–ヴェイユの定理

第18章は、本書の多くの主題を楕円曲線の数論に集約する。第2版で追加された第19章は、有理数体上のモーデル–ヴェイユの定理を証明する。

第20章：数論幾何の新たな進展

これも第2版で追加された章で、1980年代の数論幾何の劇的な進展を概観する。かつて手の届かないと思われていた問題が解決された。

主要概念

第1–9章：初等理論と相互法則

• 一意分解：出発点であり、二つの章の主題。
• 二次・三次・四次の相互法則：第5章と第9章の相互法則。
• ガウス和とヤコビ和：第6章と第8章で展開される道具。
• 有限体：第7章の主題。

第10–20章：ゼータ関数、代数的整数論、楕円曲線

• 有限体上の方程式のゼータ関数：第10–11章。
• 代数体、円分体、スティッケルベルガー関係、アイゼンシュタインの相互法則：第12–14章。
• ベルヌーイ数とディリクレのL関数：第15–16章。
• 楕円曲線とモーデル–ヴェイユの定理：第18–19章。

批判的分析

長所

• 歴史が構成の軸になっている。 シュプリンガーは全体を通じて歴史的発展を強調しており、章題は、相互法則とガウス和・ヤコビ和から、ゼータ関数、円分体、楕円曲線へと至る道筋を示している。
• 現代的な考え方への入りやすい入口。 フェルナンド・グヴェアは第2版の書評（MathDL、2006年1月）で、学生が整数論の高度な独習プロジェクトをしたいときにはまず薦める本だと述べ、初等整数論と標準的な抽象代数の授業を履修した読者に最適だと評した。『Mathematical Reviews』は、シュプリンガーが引用する評で、数論に歴史感覚を取り戻させる近年の本のなかで唯一無二の価値ある貢献だとしている。
• 初等的な証明と演習。 出版社の説明では、重要な結果が比較的初等的な証明（一部は新しいもの）で示され、充実した文献一覧と多くの挑戦的な演習が付く。
• 第2版の二つの追加。 モーデル–ヴェイユの定理と最後の概観が、本書を当時の研究の最前線へ導く。

短所

• 最後の概観は古くなっている。 第20章が概観するのは1980年代の進展であり、それ以後の成果は本書の外にある。
• 最初の一冊ではない。 シュプリンガーは前提を基本的な抽象代数としているが、本書はGraduate Texts in Mathematicsの一冊で演習も挑戦的であり、初等整数論の知識がない読者は、先にもっとやさしい本が要る。
• 主題が選択されている。 各章は相互法則、有限体、ゼータ関数、楕円曲線を軸に組まれており、目次にはディリクレのL関数を除き、解析的整数論の一般的な扱いはない。

コースにおける位置づけ

整数論の書目のなかで、本書は現代的・代数的な一冊である。入門的な授業はこれより前にくる。ジョゼフ・シルヴァーマンの『整数論への親しみやすい入門』とデイヴィッド・バートンの『初等整数論』は初等的な内容を教え、クラフトとワシントンの本は暗号を加える。ロビン・ウィルソンの『整数論――ごく短い入門』は手早い概観である。ハーディとライトの『整数論入門』は初等的・解析的整数論を扱い、第6版では楕円曲線の章が加わった。Ireland と Rosenは代数的・数論幾何的な側面にさらに踏み込み、両者は互いに補い合うもので、代わりにはならない。

本書の使い方

初等整数論と、群・環・体を扱う最初の抽象代数の授業を履修した上級学部生や大学院の初学者に向く。

• 中核： 第1–9章と第12–14章は、相互法則と代数体についてのまとまった授業になる。第7–8章は、後で使う有限体と指標和の道具を提供する。
• 任意の発展： 第10–11章（ゼータ関数）と第15–16章（ベルヌーイ数、ディリクレのL関数）はそれぞれ独立に読める。第17–20章は楕円曲線へ向かう道である。
• 演習： 本書の演習（シュプリンガーは挑戦的と述べる）に取り組み、第20章を、本書の先にあるものへの読書案内として使う。