01 / 導讀
導讀
引用
Ireland, K., & Rosen, M. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). Springer.
章節概要
這部「數學研究生教材」叢書中的一卷，第二版共20章。施普林格的介紹稱，它在初等數論與高等專題的系統學習之間架起橋梁，只要求熟悉基本的抽象代數，貫穿始終強調歷史發展，並以相對初等的證明涵蓋重要結果。第二版訂正了第一版，並新增兩章：對有理數域上橢圓曲線的莫德爾–韋伊定理的完整證明，以及橢圓曲線算術最新進展的概述。
第1–4章：唯一分解；唯一分解的應用；同餘；U(ℤ/nℤ)的結構
開頭幾章建立初等工具：唯一分解及其推論，然後是同餘以及模n單位群的結構。第2章明確建立在第1章所確立的素數之重要性之上。
第5–6章：二次互反律；二次高斯和
第5章討論二次互反律，即書中第一個互反律；第6章討論二次高斯和。
第7–8章：有限域；高斯和與雅可比和
第7章介紹有限域，第8章討論高斯和與雅可比和。
第9章：三次與四次互反律
第9章從第5章的二次互反律繼續，推進到三次與四次互反律。
第10–11章：有限域上的方程；ζ函式
這兩章研究有限域上的方程，然後研究ζ函式，這是全書通向現代數論幾何思想的部分。
第12–14章：代數數論；二次域與分圓域；斯蒂克爾貝格爾關係與艾森斯坦互反律
第12章給出代數數域及其整數環的一般理論。第13章考察高斯、艾森斯坦、庫默爾、狄利克雷等人在二次型、高次互反律和費馬大定理的研究中所關注的兩類域。第14章證明標題所列的、關於分圓域的兩個重要定理。
第15–16章：伯努利數；狄利克雷L函式
第15章引入雅各布·伯努利發現的那列有理數，第16章討論狄利克雷L函式。
第17章：丟番圖方程
本章把前面的方法應用於丟番圖方程。
第18–19章：橢圓曲線；莫德爾–韋伊定理
第18章把全書的許多主題彙集到橢圓曲線的算術之中。第19章是第二版新增的，證明有理數域上的莫德爾–韋伊定理。
第20章：算術幾何的新進展
同樣是第二版新增，概述上世紀八十年代算術幾何的驚人進展，那些曾被認為無法企及的問題得到了解決。
核心概念
第1–9章：初等理論與互反律
- 唯一分解：全書的起點，佔兩章。
- 二次、三次與四次互反律：第5章和第9章的互反律。
- 高斯和與雅可比和：第6章和第8章發展的工具。
- 有限域：第7章的主題。
第10–20章：ζ函式、代數數論與橢圓曲線
- 有限域上方程的ζ函式：第10–11章。
- 代數數域、分圓域、斯蒂克爾貝格爾關係、艾森斯坦互反律：第12–14章。
- 伯努利數與狄利克雷L函式：第15–16章。
- 橢圓曲線與莫德爾–韋伊定理：第18–19章。
評析
優點
- 以歷史為組織線索。 施普林格強調全書貫穿歷史發展，而章節標題勾勒出一條從互反律以及高斯和與雅可比和，通向ζ函式、分圓域和橢圓曲線的路徑。
- 通向現代思想的易入口。 費爾南多·古韋阿在評論第二版時（MathDL，2006年1月）說，每當學生想做數論方面的高階自主研究專案，這本書是他的首選；對學過初等數論和標準抽象代數課程的讀者來說是理想之選。《數學評論》在施普林格引用的評語中稱，它是眾多恢復數論歷史感的近著中獨一無二、有價值的貢獻。
- 初等的證明與習題。 出版社介紹說，書中用相對初等的方式（有些是新的）證明重要結果，附有詳盡的參考文獻和大量有挑戰性的習題。
- 第二版的兩項增補。 莫德爾–韋伊定理和結尾的概述，把本書帶到當時的研究前沿。
侷限
- 結尾的綜述已顯陳舊。 第20章概述的是八十年代的進展，此後的成果不在書中。
- 不是第一門課。 施普林格列出的先修要求是基本的抽象代數，但本書是「數學研究生教材」叢書中的一卷，習題有挑戰性，沒有初等數論基礎的讀者應先讀更淺顯的書。
- 題材有所選擇。 各章圍繞互反律、有限域、ζ函式和橢圓曲線組織；目錄中除狄利克雷L函式外，沒有對解析數論的一般性論述。
在課程中的定位
在數論書單中，這是偏現代代數方法的一本。入門課程應在它之前：約瑟夫·西爾弗曼的《數論友好入門》和戴維·伯頓的《初等數論》講授初等內容，克拉夫特與華盛頓的書增加了密碼學。羅賓·威爾遜的《數論簡明導論》是快速概覽。哈代和賴特的《數論導論》涵蓋初等與解析數論，第六版還增加了一章橢圓曲線；Ireland 與 Rosen則更深入代數與算術幾何一側，兩本書互補而非互相替代。
如何使用本書
本書適合學過初等數論和包含群、環、域的第一門抽象代數課程的高年級本科生和研究生低年級學生。
- 核心： 第1–9章和第12–14章構成一門關於互反律與代數數域的完整課程。第7–8章提供後面要用到的有限域與特徵和工具。
- 可選的擴充套件： 第10–11章（ζ函式）與第15–16章（伯努利數、狄利克雷L函式）可以各自獨立閱讀；第17–20章通向橢圓曲線。
- 練習： 做書中的習題（施普林格稱其頗具挑戰性），並把第20章作為了解本書之外進展的閱讀線索。