01 / 导读
导读
引用
Ireland, K., & Rosen, M. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). Springer.
章节概要
这部“数学研究生教材”丛书中的一卷，第二版共20章。施普林格的介绍称，它在初等数论与高等专题的系统学习之间架起桥梁，只要求熟悉基本的抽象代数，贯穿始终强调历史发展，并以相对初等的证明涵盖重要结果。第二版订正了第一版，并新增两章：对有理数域上椭圆曲线的莫德尔–韦伊定理的完整证明，以及椭圆曲线算术最新进展的概述。
第1–4章：唯一分解；唯一分解的应用；同余；U(ℤ/nℤ)的结构
开头几章建立初等工具：唯一分解及其推论，然后是同余以及模n单位群的结构。第2章明确建立在第1章所确立的素数之重要性之上。
第5–6章：二次互反律；二次高斯和
第5章讨论二次互反律，即书中第一个互反律；第6章讨论二次高斯和。
第7–8章：有限域；高斯和与雅可比和
第7章介绍有限域，第8章讨论高斯和与雅可比和。
第9章：三次与四次互反律
第9章从第5章的二次互反律继续，推进到三次与四次互反律。
第10–11章：有限域上的方程；ζ函数
这两章研究有限域上的方程，然后研究ζ函数，这是全书通向现代数论几何思想的部分。
第12–14章：代数数论；二次域与分圆域；斯蒂克尔贝格尔关系与艾森斯坦互反律
第12章给出代数数域及其整数环的一般理论。第13章考察高斯、艾森斯坦、库默尔、狄利克雷等人在二次型、高次互反律和费马大定理的研究中所关注的两类域。第14章证明标题所列的、关于分圆域的两个重要定理。
第15–16章：伯努利数；狄利克雷L函数
第15章引入雅各布·伯努利发现的那列有理数，第16章讨论狄利克雷L函数。
第17章：丢番图方程
本章把前面的方法应用于丢番图方程。
第18–19章：椭圆曲线；莫德尔–韦伊定理
第18章把全书的许多主题汇集到椭圆曲线的算术之中。第19章是第二版新增的，证明有理数域上的莫德尔–韦伊定理。
第20章：算术几何的新进展
同样是第二版新增，概述上世纪八十年代算术几何的惊人进展，那些曾被认为无法企及的问题得到了解决。
核心概念
第1–9章：初等理论与互反律
- 唯一分解：全书的起点，占两章。
- 二次、三次与四次互反律：第5章和第9章的互反律。
- 高斯和与雅可比和：第6章和第8章发展的工具。
- 有限域：第7章的主题。
第10–20章：ζ函数、代数数论与椭圆曲线
- 有限域上方程的ζ函数：第10–11章。
- 代数数域、分圆域、斯蒂克尔贝格尔关系、艾森斯坦互反律：第12–14章。
- 伯努利数与狄利克雷L函数：第15–16章。
- 椭圆曲线与莫德尔–韦伊定理：第18–19章。
评析
优点
- 以历史为组织线索。 施普林格强调全书贯穿历史发展，而章节标题勾勒出一条从互反律以及高斯和与雅可比和，通向ζ函数、分圆域和椭圆曲线的路径。
- 通向现代思想的易入口。 费尔南多·古韦阿在评论第二版时（MathDL，2006年1月）说，每当学生想做数论方面的高阶自主研究项目，这本书是他的首选；对学过初等数论和标准抽象代数课程的读者来说是理想之选。《数学评论》在施普林格引用的评语中称，它是众多恢复数论历史感的近著中独一无二、有价值的贡献。
- 初等的证明与习题。 出版社介绍说，书中用相对初等的方式（有些是新的）证明重要结果，附有详尽的参考文献和大量有挑战性的习题。
- 第二版的两项增补。 莫德尔–韦伊定理和结尾的概述，把本书带到当时的研究前沿。
局限
- 结尾的综述已显陈旧。 第20章概述的是八十年代的进展，此后的成果不在书中。
- 不是第一门课。 施普林格列出的先修要求是基本的抽象代数，但本书是“数学研究生教材”丛书中的一卷，习题有挑战性，没有初等数论基础的读者应先读更浅显的书。
- 题材有所选择。 各章围绕互反律、有限域、ζ函数和椭圆曲线组织；目录中除狄利克雷L函数外，没有对解析数论的一般性论述。
在课程中的定位
在数论书单中，这是偏现代代数方法的一本。入门课程应在它之前：约瑟夫·西尔弗曼的《数论友好入门》和戴维·伯顿的《初等数论》讲授初等内容，克拉夫特与华盛顿的书增加了密码学。罗宾·威尔逊的《数论简明导论》是快速概览。哈代和赖特的《数论导论》涵盖初等与解析数论，第六版还增加了一章椭圆曲线；Ireland 与 Rosen则更深入代数与算术几何一侧，两本书互补而非互相替代。
如何使用本书
本书适合学过初等数论和包含群、环、域的第一门抽象代数课程的高年级本科生和研究生低年级学生。
- 核心： 第1–9章和第12–14章构成一门关于互反律与代数数域的完整课程。第7–8章提供后面要用到的有限域与特征和工具。
- 可选的扩展： 第10–11章（ζ函数）与第15–16章（伯努利数、狄利克雷L函数）可以各自独立阅读；第17–20章通向椭圆曲线。
- 练习： 做书中的习题（施普林格称其颇具挑战性），并把第20章作为了解本书之外进展的阅读线索。