經典力學

引用

Goldstein, H., Poole, C. P., & Safko, J. L. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.

章節概要

背景與論述思路

本書是赫伯特·戈德斯坦所著、久負盛名的研究生教材的第三版，由查爾斯·普爾和約翰·薩夫科修訂，以涵蓋較新的專題和記號。它以分析形式呈現經典力學，以拉格朗日方法和哈密頓方法為中心，把這一學科看作現代物理學的基礎，而不是已經完結的歷史篇章。這一版增加了非線性動力學與混沌、微擾理論和數值練習，並詳細給出數學技巧，使沒有學過中級力學課程的讀者也能跟上。全書共十三章、兩個附錄、一份精選參考書目和索引，約630頁。

第1章：基本原理概覽

開篇一章回顧質點和質點系的牛頓力學，然後引入約束、廣義座標、達朗貝爾原理以及拉格朗日方程的推導。它把動量、角動量和能量的基本守恆定理作為後續各章的起點。

第2章：變分原理與拉格朗日方程

本章引入哈密頓原理和變分法，並從變分原理推導拉格朗日方程。它討論這種方法的優點，包括對約束的處理，以及對稱性與守恆律之間的聯絡。

第3章：有心力問題

本章把二體問題化為等效的單體問題，並研究有心力作用下的運動：軌道方程、位力定理、開普勒問題以及有心力場中的散射。最後討論三體問題。

第4章：剛體運動的運動學

本章搭建描述轉動所需的幾何框架，包括正交變換、尤拉角、有限轉動與無窮小轉動，以及對轉動參考系中運動的描述，其中有科里奧利效應。

第5章：剛體運動方程

在第4章的基礎上，本章引入剛體的角動量和動能、慣量張量和主軸以及尤拉方程，並把它們應用於無力矩運動和重對稱陀螺。

第6章：振動

本章把平衡點附近的小振動作為本徵值問題處理，引入簡正座標和簡正模式，並推廣到受迫振動和耗散。然後越出小振動近似，進入非線性的例子。

第7章：狹義相對論的經典力學

狹義相對論連同洛倫茲變換、四維向量和張量方法一起呈現，拉格朗日和哈密頓形式也被推廣到相對論性粒子。本章還對廣義相對論的想法作簡短介紹。

第8章：哈密頓運動方程

本章通過勒讓德變換從拉格朗日形式過渡到哈密頓形式，討論循環座標與守恆定理、勞斯方法，以及相對論力學的哈密頓處理。

第9章：正則變換

本章發展正則變換及其生成函式、辛方法與泊松括號，並用這些工具研究對稱性和守恆定理。

第10章：哈密頓–雅可比理論與作用–角變數

本章建立哈密頓–雅可比方程，把它應用於諧振子和開普勒問題等簡單系統，併為可積系統引入作用–角變數。

第11章：經典混沌

為體現這一版對非線性的關注，本章引入非線性動力學：週期運動與微擾、吸引子、李雅普諾夫指數、龐加萊對映、分岔與分形，以及哈密頓系統中混沌的出現。

第12章：正則微擾理論

本章給出哈密頓系統的含時和不含時微擾方法，以及絕熱不變數，這是處理近可積系統的工具。

第13章：連續系統與場的拉格朗日和哈密頓形式導論

最後一章把形式體系從離散粒子推廣到連續系統和場，涵蓋拉格朗日與哈密頓場論、能量–動量張量、相對論性場和諾特定理。

附錄

附錄A討論其他約定下的尤拉角和凱萊–克萊因引數；附錄B介紹群與代數。

核心概念

第1–3章：拉格朗日基礎

• 廣義座標與約束：用適合系統的變數描述系統，並把約束納入方程。
• 哈密頓原理：把運動看作使作用量取駐值的路徑。
• 有心力：把二體運動化為有效的單體問題。

第4–7章：剛體、振動與相對論

• 慣量張量與尤拉方程：對轉動物體的描述。
• 簡正模式：耦合系統的獨立振動。
• 四維向量：相對論力學的語言。

第8–10章：哈密頓方法

• 勒讓德變換與哈密頓方程：相空間中的一階方程。
• 正則變換與泊松括號：變數變換背後的結構。
• 哈密頓–雅可比理論與作用–角變數：通向可積系統的途徑。

第11–13章：混沌、微擾與場

• 混沌與李雅普諾夫指數：對初始條件的敏感性。
• 微擾理論與絕熱不變數：處理接近可積的系統。
• 諾特定理與場：連續系統中對稱性與守恆律的聯絡。

評析

優點

• **對分析形式涵蓋面廣。**從拉格朗日方程，經正則變換和哈密頓–雅可比理論，直到混沌與場，本書為高等物理中使用的工具提供了一條連貫的路線。
• **第三版作了更新。**關於混沌的新章，以及增加的微擾理論和數值練習，把經典內容與當前研究課題聯絡起來。
• **數學講得詳細。**出版社指出，技巧交代得足夠充分，沒有學過中級經典力學課程的學生也能理解。
• **長期通用的參考書。**其篇幅、參考書目和附錄，使它既可用於課程，也可日後查閱。

侷限

• **數學要求高。**全書始終以微積分、線性代數和微分方程為前提，難度上升很快。
• **文字緊湊。**敘述簡練，常常期待讀者自行補足步驟，所以難以作為入門的第一本書。
• **對單一課程來說篇幅偏大。**約630頁，一門課只能覆蓋其中一部分，教師必須取捨。

在課程中的定位

在力學書單中，本書是分析形式的高階參考書。泰勒的《經典力學》是更循序漸進的本科教材，涵蓋牛頓力學和拉格朗日力學；莫林的《經典力學導論》是習題豐富的入門書。查巴伊與舍伍德的《Matter and Interactions》是一年級使用微積分的入門書，薩斯坎德與赫拉博夫斯基的《The Theoretical Minimum》是適合自學的講座式入門讀物。斯米茨的《流體力學的物理導論》討論的是連續介質這一不同主題。戈德斯坦應在這些書之後閱讀，適用於需要完整的哈密頓與哈密頓–雅可比處理、剛體的詳細討論，以及通向量子力學和場論的橋梁的時候。

如何使用本書

本書面向已學過中級力學課程的物理學高年級本科生和研究生一年級學生。

• 核心順序：第1、2、8、9、10章給出拉格朗日與哈密頓框架。
• 應用：第3至6章把它應用於有心力、剛體和振動，可按課程需要閱讀。
• 可選的拓展：第7、11、12、13章涉及相對論、混沌、微擾理論和場，適合第二遍閱讀。
• 練習：做各章末的推導和練習，以及本版增加的數值練習。如果推導過於簡略，可配合一本較短、較循序漸進的教材。