引用

Goldstein, H., Poole, C. P., & Safko, J. L. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.

章の要約

背景と議論の方向

本書は、ハーバート・ゴールドスタインが著した定評ある大学院向け教科書の第3版で、チャールズ・プールとジョン・サフコが新しい話題と記法を取り入れて改訂した。解析力学の形式でラグランジュ法とハミルトン法を中心に古典力学を提示し、この分野を完成して歴史となった章としてではなく、現代物理学の基礎として扱う。この版は非線形力学とカオス、摂動論、数値演習を加え、中級の力学の授業を受けていない読者にもついていけるよう、数学的手法を詳しく示している。13の章、2つの付録、選択文献目録、索引からなり、約630ページである。

第1章：基礎原理の概観

最初の章は、質点および質点系のニュートン力学を復習し、そのうえで束縛、一般化座標、ダランベールの原理、ラグランジュ方程式の導出を導入する。運動量、角運動量、エネルギーの基本的な保存定理を、後の章の出発点として示す。

第2章：変分原理とラグランジュ方程式

この章はハミルトンの原理と変分法を導入し、変分原理からラグランジュ方程式を導く。束縛の扱いを含むこのアプローチの利点と、対称性と保存則の関係を論じる。

第3章：中心力問題

この章は二体問題を等価な一体問題に帰着させ、中心力のもとでの運動を調べる。軌道の方程式、ビリアル定理、ケプラー問題、中心力場での散乱である。最後に三体問題を扱う。

第4章：剛体運動の運動学

この章は回転を記述するのに必要な幾何学を整える。直交変換、オイラー角、有限回転と無限小回転、コリオリ効果を含む回転系での運動の記述を扱う。

第5章：剛体の運動方程式

第4章の上に立ち、剛体の角運動量と運動エネルギー、慣性テンソルと主軸、オイラーの方程式を導入する。これらをトルクのない運動と重い対称コマに適用する。

第6章：振動

この章は、平衡点まわりの微小振動を固有値問題として扱い、基準座標と基準モードを導入し、強制振動と散逸へ広げる。そのうえで微小振動の近似を超えて、非線形の例へ進む。

第7章：特殊相対性理論の古典力学

特殊相対性理論はローレンツ変換、4元ベクトル、テンソルの方法とともに提示され、ラグランジュ形式とハミルトン形式が相対論的粒子へ拡張される。この章は一般相対性理論の考え方の短い紹介も与える。

第8章：ハミルトンの運動方程式

この章はルジャンドル変換を通じてラグランジュ形式からハミルトン形式へ移る。循環座標と保存定理、ラウスの手続き、相対論的力学のハミルトン的取り扱いを論じる。

第9章：正準変換

この章は正準変換とその母関数、シンプレクティックな取り扱いとポアソン括弧を展開し、これらの道具を対称性と保存定理の研究に用いる。

第10章：ハミルトン・ヤコビ理論と作用・角変数

この章はハミルトン・ヤコビ方程式を定式化し、調和振動子やケプラー問題のような単純な系に適用し、可積分系のための作用・角変数を導入する。

第11章：古典的カオス

この版の非線形性への注目を反映して、この章は非線形力学を導入する。周期運動と摂動、アトラクター、リャプノフ指数、ポアンカレ写像、分岐、フラクタル、ハミルトン系におけるカオスの出現を扱う。

第12章：正準摂動論

この章はハミルトン系のための時間依存および時間独立の摂動法と断熱不変量を示す。これらは可積分に近い系のための道具である。

第13章：連続系と場のラグランジュ形式とハミルトン形式への入門

最後の章は形式を離散的な粒子から連続系と場へ広げる。ラグランジュ的・ハミルトン的場の理論、エネルギー運動量テンソル、相対論的な場、ネーターの定理を扱う。

付録

付録Aは別の規約でのオイラー角とケイリー・クライン・パラメータを扱い、付録Bは群と代数を導入する。

主要概念

第1〜3章：ラグランジュ形式の基礎

一般化座標と束縛：系に合った変数で記述し、束縛を方程式に組み込むこと。
ハミルトンの原理：運動を作用が停留値をとる経路として捉えること。
中心力：二体運動を実効的な一体問題に帰着させること。

第4〜7章：剛体、振動、相対論

慣性テンソルとオイラーの方程式：回転する物体の記述。
基準モード：連成系の独立した振動。
4元ベクトル：相対論的力学の言語。

第8〜10章：ハミルトン的方法

ルジャンドル変換とハミルトンの方程式：位相空間での1階の方程式。
正準変換とポアソン括弧：変数変換の背後にある構造。
ハミルトン・ヤコビ理論と作用・角変数：可積分系への道筋。

第11〜13章：カオス、摂動、場

カオスとリャプノフ指数：初期条件への敏感性。
摂動論と断熱不変量：可積分に近い系の扱い。
ネーターの定理と場：連続系における対称性と保存則の結びつき。

批判的分析

長所

**解析的形式の広い範囲。**ラグランジュ方程式から、正準変換とハミルトン・ヤコビ理論を経て、カオスと場に至るまで、高度な物理学で使われる道具への一貫した道筋を与える。
**第3版で更新された。**カオスの新しい章と、摂動論および数値演習の追加により、古典的な内容が現在の研究課題とつながる。
**数学が詳しく示される。**出版社によれば、中級の古典力学の授業を受けていない学生でも理解できる程度に手法が十分に述べられている。
**長く使われる参考書。**分量、文献目録、付録により、授業だけでなく後の参照にも使える。

短所

**数学的に要求が高い。**微積分、線形代数、微分方程式が全体を通じて前提とされ、水準は急速に上がる。
**密度が高い。**叙述が簡潔で、読者が途中の式を補うことがしばしば期待されるため、最初の教科書としては使いにくい。
**一つの授業には大きい。**約630ページなので、授業で扱えるのは一部にとどまり、教員は取捨選択が必要になる。

コースにおける位置づけ

力学のリストの中で、本書は解析的形式のための上級の参考書である。テイラーの『古典力学』はニュートン力学とラグランジュ力学を扱う、より段階的な学部向けの教科書であり、モリンの『古典力学入門』は問題の豊富な入門書である。チャバイとシャーウッドの『Matter and Interactions』は1年生向けの微積分を使う入門書で、サスキンドとフラボフスキーの『The Theoretical Minimum』は独習向けの講義形式の入門である。スミッツの『流体力学への物理的入門』は連続体という別の主題を扱う。ゴールドスタインはこれらのあとに読み、ハミルトン形式とハミルトン・ヤコビ理論の完全な取り扱い、剛体の詳細、量子力学や場の理論への橋渡しを求めるときに読む。

本書の使い方

対象は、すでに中級の力学を学んだ物理学専攻の上級学部生と大学院初年度の学生である。

中核の順序：第1、2、8、9、10章がラグランジュ・ハミルトンの枠組みを与える。
応用：第3〜6章は中心力、剛体、振動への応用である。授業に応じて読む。
選択的な追加：第7、11、12、13章は相対論、カオス、摂動論、場を扱い、二周目に向く。
演習：各章末の導出と演習、およびこの版で加えられた数値演習に取り組む。導出が簡潔すぎる場合は、より短く段階的な教科書を併読するとよい。

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