经典力学

引用

Goldstein, H., Poole, C. P., & Safko, J. L. (2002). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison-Wesley.

章节概要

背景与论述思路

本书是赫伯特·戈德斯坦所著、久负盛名的研究生教材的第三版，由查尔斯·普尔和约翰·萨夫科修订，以涵盖较新的专题和记号。它以分析形式呈现经典力学，以拉格朗日方法和哈密顿方法为中心，把这一学科看作现代物理学的基础，而不是已经完结的历史篇章。这一版增加了非线性动力学与混沌、微扰理论和数值练习，并详细给出数学技巧，使没有学过中级力学课程的读者也能跟上。全书共十三章、两个附录、一份精选参考书目和索引，约630页。

第1章：基本原理概览

开篇一章回顾质点和质点系的牛顿力学，然后引入约束、广义坐标、达朗贝尔原理以及拉格朗日方程的推导。它把动量、角动量和能量的基本守恒定理作为后续各章的起点。

第2章：变分原理与拉格朗日方程

本章引入哈密顿原理和变分法，并从变分原理推导拉格朗日方程。它讨论这种方法的优点，包括对约束的处理，以及对称性与守恒律之间的联系。

第3章：有心力问题

本章把二体问题化为等效的单体问题，并研究有心力作用下的运动：轨道方程、位力定理、开普勒问题以及有心力场中的散射。最后讨论三体问题。

第4章：刚体运动的运动学

本章搭建描述转动所需的几何框架，包括正交变换、欧拉角、有限转动与无穷小转动，以及对转动参考系中运动的描述，其中有科里奥利效应。

第5章：刚体运动方程

在第4章的基础上，本章引入刚体的角动量和动能、惯量张量和主轴以及欧拉方程，并把它们应用于无力矩运动和重对称陀螺。

第6章：振动

本章把平衡点附近的小振动作为本征值问题处理，引入简正坐标和简正模式，并推广到受迫振动和耗散。然后越出小振动近似，进入非线性的例子。

第7章：狭义相对论的经典力学

狭义相对论连同洛伦兹变换、四维矢量和张量方法一起呈现，拉格朗日和哈密顿形式也被推广到相对论性粒子。本章还对广义相对论的想法作简短介绍。

第8章：哈密顿运动方程

本章通过勒让德变换从拉格朗日形式过渡到哈密顿形式，讨论循环坐标与守恒定理、劳斯方法，以及相对论力学的哈密顿处理。

第9章：正则变换

本章发展正则变换及其生成函数、辛方法与泊松括号，并用这些工具研究对称性和守恒定理。

第10章：哈密顿–雅可比理论与作用–角变量

本章建立哈密顿–雅可比方程，把它应用于谐振子和开普勒问题等简单系统，并为可积系统引入作用–角变量。

第11章：经典混沌

为体现这一版对非线性的关注，本章引入非线性动力学：周期运动与微扰、吸引子、李雅普诺夫指数、庞加莱映射、分岔与分形，以及哈密顿系统中混沌的出现。

第12章：正则微扰理论

本章给出哈密顿系统的含时和不含时微扰方法，以及绝热不变量，这是处理近可积系统的工具。

第13章：连续系统与场的拉格朗日和哈密顿形式导论

最后一章把形式体系从离散粒子推广到连续系统和场，涵盖拉格朗日与哈密顿场论、能量–动量张量、相对论性场和诺特定理。

附录

附录A讨论其他约定下的欧拉角和凯莱–克莱因参数；附录B介绍群与代数。

核心概念

第1–3章：拉格朗日基础

• 广义坐标与约束：用适合系统的变量描述系统，并把约束纳入方程。
• 哈密顿原理：把运动看作使作用量取驻值的路径。
• 有心力：把二体运动化为有效的单体问题。

第4–7章：刚体、振动与相对论

• 惯量张量与欧拉方程：对转动物体的描述。
• 简正模式：耦合系统的独立振动。
• 四维矢量：相对论力学的语言。

第8–10章：哈密顿方法

• 勒让德变换与哈密顿方程：相空间中的一阶方程。
• 正则变换与泊松括号：变量变换背后的结构。
• 哈密顿–雅可比理论与作用–角变量：通向可积系统的途径。

第11–13章：混沌、微扰与场

• 混沌与李雅普诺夫指数：对初始条件的敏感性。
• 微扰理论与绝热不变量：处理接近可积的系统。
• 诺特定理与场：连续系统中对称性与守恒律的联系。

评析

优点

• **对分析形式涵盖面广。**从拉格朗日方程，经正则变换和哈密顿–雅可比理论，直到混沌与场，本书为高等物理中使用的工具提供了一条连贯的路线。
• **第三版作了更新。**关于混沌的新章，以及增加的微扰理论和数值练习，把经典内容与当前研究课题联系起来。
• **数学讲得详细。**出版社指出，技巧交代得足够充分，没有学过中级经典力学课程的学生也能理解。
• **长期通用的参考书。**其篇幅、参考书目和附录，使它既可用于课程，也可日后查阅。

局限

• **数学要求高。**全书始终以微积分、线性代数和微分方程为前提，难度上升很快。
• **文字紧凑。**叙述简练，常常期待读者自行补足步骤，所以难以作为入门的第一本书。
• **对单一课程来说篇幅偏大。**约630页，一门课只能覆盖其中一部分，教师必须取舍。

在课程中的定位

在力学书单中，本书是分析形式的高级参考书。泰勒的《经典力学》是更循序渐进的本科教材，涵盖牛顿力学和拉格朗日力学；莫林的《经典力学导论》是习题丰富的入门书。查巴伊与舍伍德的《Matter and Interactions》是一年级使用微积分的入门书，萨斯坎德与赫拉博夫斯基的《The Theoretical Minimum》是适合自学的讲座式入门读物。斯米茨的《流体力学的物理导论》讨论的是连续介质这一不同主题。戈德斯坦应在这些书之后阅读，适用于需要完整的哈密顿与哈密顿–雅可比处理、刚体的详细讨论，以及通向量子力学和场论的桥梁的时候。

如何使用本书

本书面向已学过中级力学课程的物理学高年级本科生和研究生一年级学生。

• 核心顺序：第1、2、8、9、10章给出拉格朗日与哈密顿框架。
• 应用：第3至6章把它应用于有心力、刚体和振动，可按课程需要阅读。
• 可选的拓展：第7、11、12、13章涉及相对论、混沌、微扰理论和场，适合第二遍阅读。
• 练习：做各章末的推导和练习，以及本版增加的数值练习。如果推导过于简略，可配合一本较短、较循序渐进的教材。