01 / 導讀
導讀
引用
Susskind, L., & Hrabovsky, G. (2014). The Theoretical Minimum: What You Need to Know to Start Doing Physics. Basic Books.
章節概要
本書源於倫納德·薩斯坎德在斯坦福大學繼續教育專案中開設的「理論最小值」課程。他的網站介紹說，這些課程面向懂得、或曾經懂得一些代數和微積分，但在其他方面基本是初學者的人。正文約240頁，由十一講編號講座、三個簡短的數學插曲（安排在首次需要相關數學的地方）和一個附錄組成。出版社把本書定位為「為熱心的業餘愛好者」準備的物理學及其數學的第一門課程，供希望按自己節奏學習的讀者使用。
第1講：經典物理的本質
透過只有有限個狀態的簡單動力學系統，介紹什麼是經典物理。各節標題涉及狀態空間、「負一定律」（不被允許的規則）、具有無限多狀態的動力學定律、循環與守恆律，以及精度的極限。
插曲1：空間、三角學與向量；第2講：運動
第一個插曲複習座標、三角學和向量。第2講引入微分學，用它描述粒子的運動，並給出運動的例子。
插曲2：積分學；第3講：動力學
第二個插曲講積分，包括分部積分。第3講從亞里士多德的運動定律講起，再轉到質量、加速度與力、單位，以及求解牛頓方程的例子。
插曲3：偏導數；第4–5講：多粒子系統；能量
第三個插曲講偏導數，以及一維和多維中的駐點與極小值，這是後面變分方法所需的工具。第4講討論粒子系統、其狀態空間、動量與相空間，以及作用與反作用和動量守恆。第5講先在一維、再在多維中把力與位能聯繫起來。
第6講：最小作用量原理
本書的轉折點，其小節標題稱之為向高等力學的過渡。本講定義作用量和拉格朗日量，推導尤拉—拉格朗日方程，將其推廣到更多粒子和更多維度，討論最小作用量的好處，並引入廣義座標、廣義動量和循環座標。
第7講：對稱性與守恆律
對稱性的例子、更一般的對稱性，以及對稱性如何導出守恆量。
第8–9講：哈密頓力學與時間平移不變性；相空間流體與吉布斯—劉維爾定理
第8講把時間平移對稱性與能量守恆聯繫起來，然後引入相空間和哈密頓方程，並以簡諧振子為例。第9講把相空間中的運動看作流體的流動，引入散度、劉維爾定理和泊松括號。
第10–11講：泊松括號、角動量與對稱性；電力與磁力
第10講用泊松括號給出力學的公理化表述，並將其應用於角動量（使用列維-奇維塔符號）、陀螺與進動，以及對稱性與守恆的關係。第11講引入向量場與nabla算符、磁場、帶電粒子所受的力、場中帶電粒子的拉格朗日量與哈密頓量、在均勻磁場中的運動以及規範不變性。
附錄：有心力與行星軌道
引力有心力及其位能、軌道運動為何局限在一個平面內、極座標、有效位能圖以及克卜勒定律。
核心概念
第1–5講：基礎
- 狀態空間與動力學定律：系統可能的狀態，以及把一個狀態帶到下一個狀態的規則，最初用有限狀態系統來引入。
- 「負一定律」：第1講中，本書對排除某些不被允許的動力學定律的原則所起的名稱；對應的線上講座用同樣的簡單系統引入可逆性和決定論。
- 相空間：由位置和動量構成、用來確定力學系統狀態的空間。
- 位能：保守力可由其導出的函數。
第6–7講：最小作用量與對稱性
- 作用量與拉格朗日量：其駐值挑選出實際運動的量。
- 尤拉—拉格朗日方程：由最小作用量原理得出的運動方程。
- 循環座標：不出現在拉格朗日量中的座標，其共軛動量守恆。
- 對稱性與守恆：每一種連續對稱性都對應一個守恆量。
第8–11講：哈密頓力學與場
- 哈密頓方程：相空間中的一階運動方程。
- 劉維爾定理：相空間中點的流動像不可壓縮流體一樣。
- 泊松括號：力學公理化表述所依據的代數結構。
- 規範不變性：在不改變物理的前提下選擇勢的自由。
評析
優點
- 很快進入現代表述。 最小作用量原理出現在第6講，即一百多頁處，其餘各講討論對稱性、哈密頓力學、劉維爾定理和泊松括號，這些都是標準入門課程推遲到二、三年級才講的內容。
- 在用到的地方教數學。 關於向量、積分和偏導數的三個插曲緊排在需要它們的講座之前，因此微積分生疏的讀者也能使用本書。斯坦福的課程介紹同樣說明，這一系列是為懂得、或曾經懂得一些代數和微積分的人準備的。
- 一開始就給出概念框架。 第1講在使用微積分之前，就從非常簡單的系統出發建立狀態、確定性和可逆的定律以及守恆的觀念；對稱性與守恆是貫穿後續各講的主線，線上課程介紹也強調了這一點。
- 文字清晰簡潔。 出版社引用的書評稱本書非常易讀（Physics World），是一部乾脆利落、只講骨架的入門書（Publishers Weekly）。
局限
- 有意只講骨架。 用約240頁涵蓋從牛頓定律到規範不變性的全部內容，因此剛體、振動、軌道等教科書會用幾章展開的主題，在這裡只有一節或一個附錄。
- 不是課程教材。 出版社把它定位為業餘愛好者按自己節奏學習的工具箱，課程仍然需要一本教科書來提供系統的、分級的習題練習。
- 節奏陡然加快。 前五講進展平緩，但第6–10講把拉格朗日和哈密頓形式壓縮在很短的篇幅裡；剛接觸微積分的讀者可能需要藉助插曲和其他資料才能跟上。
在課程中的定位
在這門力學課程中，本書是一座簡短的橋梁。查貝與舍伍德的 Matter and Interactions 是一門完整的、基於微積分的一年級課程，配有習題和計算；泰勒的 Classical Mechanics 是中級課程教材，詳細發展拉格朗日和哈密頓方法，並配有大量分級習題；戴維·莫林的 Introduction to Classical Mechanics 收錄了大量附解答的習題；戈爾茨坦、普爾與薩夫科的 Classical Mechanics 則是研究生水平的論述。薩斯坎德與赫拉博夫斯基的講座可以在泰勒講變分法、拉格朗日方程和哈密頓力學的各章之前作為預習，也可以並行閱讀，作為一份展示形式體系走向的簡短概覽。亞歷山大·斯米茨的 A Physical Introduction to Fluid Mechanics 屬於另一條線索，與本書幾乎沒有重疊。
本書也是一個系列的開端：量子力學課程的書單中收錄了第二卷、與阿特·弗裡德曼合著的 Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum，延續了同樣的風格。
如何使用本書
理想的讀者具備中學代數和至少一些微積分，想了解物理學家如何表述力學；既可以是自學者，也可以是準備修讀中級力學課程的學生。建議的讀法如下：
- 第1–5講及插曲： 穩步閱讀；只有在已經熟悉相關內容時才跳過插曲。第1講值得細讀，因為其中關於狀態、可逆性和守恆的觀念後面還會出現。
- 第6–8講： 核心部分。用紙筆走一遍每個推導，並用簡單例子（例如第8講討論的簡諧振子）把尤拉—拉格朗日方程和哈密頓方程與牛頓定律相對照。
- 第9–11講及附錄： 在核心部分之後閱讀。第11講自然地通向電磁學；關於有心力和克卜勒定律的附錄是運用前面各講內容的好地方。
「理論最小值」網站連結了薩斯坎德在斯坦福講授經典力學的錄影，內容與本書同一課程，可以邊讀邊看。若需要超出本書的練習，可以採用泰勒或莫林等教科書中的習題。