統計推斷

引用

Casella, G., & Berger, R. L. (2024). Statistical Inference (2nd ed.). CRC Press.（重印自2001年由Cengage Learning出版的第二版。）

章節概要

本書從機率論的第一原理出發建立理論統計學。推斷理論通過一些技術、定義和概念來展開，它們都是前面內容的自然延伸。前五章是機率論，其餘七章才是真正的推斷。這裡所述的版本有十二章，另有一個關於計算機代數的附錄、一張常見分布表和參考文獻。

第1章：機率論

本書的起點，從第一原理展開機率。前五章合起來講機率論，包括多元分布、極限定理和隨機樣本。

第2章：變換與期望

隨機變數經過變換後，其分布和期望值如何變化。

第3章：常見分布族

在各推斷章節中用作模型的分布族。書末附有一張常見分布表，供查閱。

第4章：多個隨機變數

同時考慮多個隨機變數的理論。統計學需要它，因為資料是由許多觀測構成的樣本。

第5章：隨機樣本的性質

在進行任何推斷之前，關於樣本及由樣本算出的統計量能說什麼，是從機率通向統計的橋梁。

第6章：資料縮減原理

在不丟失與引數有關的資訊的前提下概括資料的方法。對初版的一篇書評把充分性、概似和不變性列入其中。

第7章：點估計

構造引數估計量的方法，以及評判它們的準則。

第8章：假設檢驗

關於引數的假設檢驗的表述與評價。

第9章：區間估計

給出一個可信引數值區間，而不是單個數值的程式。

第10章：漸近評價

樣本量變大時估計量和程式的性質。

第11–12章：變異數分析與迴歸；迴歸模型

第11章把推斷的方法用於變異數分析和迴歸，第12章討論迴歸模型。

核心概念

第1–5章：機率基礎

• 隨機變數的變換：求隨機變數的函式的分布。
• 聯合分布：把多個隨機變數放在一起描述。
• 隨機樣本：來自同一分布的獨立觀測，以及由它們算出的統計量。

第6–10章：推斷理論

• 資料縮減：在不丟失引數資訊的前提下概括樣本（充分性）。
• 點估計與區間估計：構造並評價估計量與區間程式。
• 假設檢驗：在關於引數的相互競爭的陳述之間作出決定的程式。
• 漸近評價：研究樣本量增大時的估計量。

第11–12章：線性模型

• 變異數分析與迴歸：關於組間比較和變數間關係的推斷。

評析

優點

• 從機率一步步建立的理論。 出版社把本書描述為：通過由前面內容推出的技術和概念來展開推斷理論，涵蓋標準推斷課程的全部話題，包括分布、隨機變數、資料縮減、點估計、假設檢驗和區間估計。
• 有一點微積分基礎即可讀。 出版社說，文風清晰，只需要一些微積分背景，書中有數以百計的例子，每章都有成套的由易到難的習題。
• 重視理解。 出版社說，本書關注的是理解基本的統計概念並推導合理的程式，而不太側重形式上的最優性問題。
• 書評稱其表述清晰。 萊昂內爾·魏斯（Lionel Weiss）在 zbMATH 上評論初版時稱本書寫得非常清楚，習題很多，並含有一般入門教材中不常見的內容，例如斯坦現象。

局限

• 研究生水平的要求。 出版社說，本書主要面向統計學研究生，高年級大學部學生只有在數學基礎紮實的情況下才可使用。
• 最優性理論不是重點。 想更深入學習最優估計和檢驗的讀者，需要另一本書。
• 2001年版的重印。 2024年的CRC版重現的是2001年的第二版，因此不包含該領域後來的發展。
• 結構有變化。 初版的章目錄裡有一章決策理論，第二版的十二章中則沒有。在不同版本之間切換的讀者，應當對照目錄。

在課程中的定位

本書是本課程中標準的理論書：基於微積分，從機率建立起來，涵蓋估計、檢驗和線性模型。約瑟夫·布利茨坦與傑西卡·黃的 Introduction to Probability 是學習前五章的良好準備。An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications 涵蓋機率、估計、檢驗、迴歸和變異數分析，因此與本書的範圍大體重疊。大衛·斯皮格哈爾特的 The Art of Statistics 和免費的 Introductory Statistics 2e 是非技術性或偏應用的，補充而不是取代理論。

大衛·威廉姆斯的 Probability with Martingales 提供了卡塞拉與伯傑所不用的測度論基礎。馬伕拉卡基斯與彭澤的 Probability and Statistical Inference 是研究生水平的書，還包括本書章標題中沒有的貝葉斯方法和模擬。米岑馬赫與厄普法爾的 Probability and Computing 面向的是電腦科學而非統計學。

如何使用本書

本書適合剛開始研究生學習的統計學學生，以及數學基礎紮實、學過一年微積分的高年級大學部學生。

如果機率還很新，就仔細讀第1至5章，因為後面各章依賴它們；如果不是，則瀏覽第1至4章，細讀講隨機樣本的第5章。第6至10章是推斷的核心，最好按順序讀：先是資料縮減，再是點估計、假設檢驗和區間估計，最後是漸近理論。需要變異數分析或迴歸的讀者，可以單獨讀第11章和第12章。

做習題，它們的難度是分級的，並把常見分布表當作參考。對於目錄之外的主題，例如貝葉斯推斷，請另備一本配套教材。