01 / 導讀
導讀
引用
Larsen, R. J., & Marx, M. L. (2018). An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications (6th ed.). Pearson.
章節概要
第1章：Introduction
開篇一章透過概述、統計分析的經典例子以及統計學與機率論的簡史，為這門學科建立背景。
第2章：Probability
由樣本空間和集合代數引出機率的定義，隨後是條件機率、獨立性，以及計算複雜事件機率的組合方法。
第3章：Random Variables
介紹離散和連續隨機變數及其分布、期望值和變異數，以及隨機變數的變換與組合所產生的影響。
第4章：Special Distributions
考察應用中反覆出現的有名稱的分布，帕松分布、常態分布和二項分布是核心例子。
第5章：Estimation
講授獲得估計量的方法，主要是最大概似法和動差估計法，以及用來評判估計量的性質：不偏性、有效性和一致性。
第6章：Hypothesis Testing
闡述以虛無假設對對立假設進行檢定的邏輯，包括第一型錯誤和第二型錯誤及其對決策的意義。
第7章：Inferences Based on the Normal Distribution
在這裡展開基於常態分布的平均數與變異數的方法，包括 z 方法和 t 方法以及變異數的估計。
第8章：Types of Data: A Brief Overview
簡短的一章，對資料的種類加以分類，並把每一類與相應的分析和設計方法聯繫起來。
第9章：Two-Sample Inferences
比較兩個樣本的技術，包括關於平均數和變異數的檢定與區間（獨立樣本的 t 方法和 F 方法）以及它們所需的假設。
第10章：Goodness-of-Fit Tests
本章探討理論分布對觀測資料的描述有多好，並展開卡方適合度檢定。
第11章：Regression
透過最小平方估計引入線性迴歸，隨後介紹評估配適模型對資料描述程度的方法，包括殘差分析。
第12章：The Analysis of Variance
變異數分析把兩樣本比較推廣到兩組以上，包括多重比較程序以及該方法背後的假設。
第13章：Randomized Block Designs
隨機區集設計展示如何控制實驗單元之間的外來變異，使處理效應得以更精確地比較。
第14章：Nonparametric Statistics
最後一章介紹不對資料作特定分布假設的方法，包括針對配對樣本和獨立樣本的檢定，如符號檢定和威爾科克森檢定。
核心概念
第2–4章：機率、隨機變數、特殊分布
- 條件機率與獨立性：把事件相互聯繫起來的基本工具。
- 期望值與變異數：描述隨機變數中心和散佈的概括量。
- 特殊分布：用作資料模型的二項、帕松和常態分布族。
第5–7章：估計、假設檢定、基於常態分布的推斷
- 最大概似與動差估計：本書獲得估計量的兩種主要方法。
- 不偏性、有效性、一致性：比較估計量的準則。
- 第一型與第二型錯誤：檢定可能出錯的兩種方式。
第8–14章：應用推斷
- 適合度檢定：用觀測頻數檢定所假設的分布。
- 最小平方：線性迴歸背後的配適準則。
- 變異數分析與區集化：比較多個處理，可控制或不控制已知的變異來源。
- 非參數檢定：參數假設不成立時不依賴分布的替代方法。
評析
優點
- 目標讀者明確。 出版社把本書定位為學過微積分的學生初次接觸數理統計的讀物，面向修過三個或更多學期微積分的學生，內容足以支撐兩個學期的課程。
- 統計學與實驗設計兼顧。 培生稱本書涵蓋統計學原理與資料建模，目錄也印證了這一點：除估計和檢定外，後面三章分別是變異數分析、隨機區集設計和非參數方法。
- 一冊之內有完整脈絡。 十四章從機率經特殊分布和推斷，一直到迴歸、設計實驗和不依賴分布的方法，一本書即可支撐課程中機率與推斷兩個部分。
- 接觸計算。 出版社的介紹說，本書讓偏重計算的學生實際接觸資料模型的識別。
局限
- 微積分是實實在在的先修要求。 沒有學過幾個學期微積分的讀者會覺得機率和分布各章很難。
- 機率部分較簡略。 在估計之前只有三章，需要更深機率基礎的學生應配合一本專門的機率書。
- 貝氏方法和測度論內容不是特色。 目錄中沒有關於貝氏方法或機率測度論處理的章節，因此本書是第一門課，而不是通往研究生理論的橋梁。
在課程中的定位
在機率與統計書單中，本書是以微積分為基礎的數理統計第一門課。布利茨坦與黃的 Introduction to Probability 是只講機率的更透徹的本科教材，特色是故事式證明和用 R 做模擬，適合作為第2至4章的配套讀物或先修。伊洛夫斯基與迪恩的 Introductory Statistics 2e 以及斯皮格哈爾特的 The Art of Statistics 不借助微積分講授統計實踐，對於想先理解思想、再學數學的讀者是有用的背景。
在更深的理論方面，卡塞拉與伯傑的 Statistical Inference 和馬夫拉卡基斯與彭澤的 Probability and Statistical Inference 在研究生層次上涵蓋相近的內容，後者還包含貝氏方法。威廉斯的 Probability with Martingales 和米岑馬赫等人的 Probability and Computing 在機率論上走得更遠，分別朝測度論和演算法的方向發展。拉森與馬克斯是通向它們的入口，而不是替代品。
如何使用本書
本書適合已修完微積分課程、尚未接觸數理統計的數學、統計、工程和理科學生，也可以作為自學教材，供想了解標準方法是如何推導出來的人使用。
若按兩個學期安排，第一學期學第1至7章（機率、隨機變數、特殊分布、估計、假設檢定和基於常態分布的推斷），第二學期學第8至14章（資料類型、兩樣本推斷、適合度、迴歸、變異數分析、區集化和非參數方法）。已經修過以微積分為基礎的機率課程的學生，可以把第2至4章當作複習，從第5章開始認真學習。
要做習題，推導正是在那裡得到練習的。把假設檢定一章與對應的估計內容對照閱讀，可以看出區間和檢定如何回答同樣的問題。