01 / 導讀
導讀
引用
Mavrakakis, M. C., & Penzer, J. (2021). Probability and Statistical Inference: From Basic Principles to Advanced Models (1st ed.). Chapman & Hall/CRC.
章節概要
全書共十二章，約 444 頁。它源自倫敦政治經濟學院(LSE)的二年級統計推斷課程 ST202。出版社稱本書彌合了入門書與高等研究生教材之間的差距，在不放棄數學嚴謹性的前提下，以易於理解的方式講述機率、分佈理論和推斷。第 2–5 章建立機率與分佈理論，第 6–10 章轉向模型與經典推斷，第 11–12 章講貝葉斯方法和模擬方法。
第 1 章：導論
本章說明為什麼對推斷的理論性理解對於資料分析與建模十分重要，以及機率在由資料得出結論時所起的作用。
第 2 章：機率
本章引入數學機率及其背後的直觀想法：機率測度的形式定義、計數方法，以及條件機率與獨立性。
第 3 章：隨機變數與一元分佈
把試驗結果對映為實數。本章討論累積分佈函式、離散與連續隨機變數、期望與方差、矩母函式等生成函式，以及隨機變數的函式。
第 4 章：多元分佈
本章把上一章推廣到多個變數：聯合分佈、邊緣分佈與條件分佈，協方差與相關，以及隨機變數的變換。
第 5 章：條件分佈
更深入地討論離散與連續的條件分佈，以及條件期望。
第 6 章：統計模型
對統計實踐中所用模型的概覽：線性模型、廣義線性模型、生存分析、時間序列、Poisson 過程和 Markov 鏈。出版社稱其為對統計建模簡明而廣泛的介紹。
第 7 章：樣本矩與分位數
樣本矩、中心極限定理，以及次序統計量與分位數。
第 8 章：估計、檢驗與預測
經典推斷的基礎：點估計、區間估計、假設檢驗與預測。
第 9 章：基於似然的推斷
似然函式、極大似然估計與似然比檢驗。
第 10 章：推斷理論
推斷背後的理論：充分性原理、估計量的性質，以及最優勢檢驗的構造。
第 11 章：貝葉斯推斷
先驗分佈與後驗分佈、貝葉斯估計和層次模型。
第 12 章：模擬方法
用於推斷的模擬，包括 Monte Carlo 積分和 Markov chain Monte Carlo。出版社還把 bootstrap 列為書中演示的計算方法之一。
核心概念
第 2–5 章：機率與分佈理論
- 機率測度、條件機率與獨立性（第 2 章）。
- 累積分佈函式、期望、方差與生成函式（第 3 章）。
- 聯合分佈、協方差與相關（第 4 章）;條件期望（第 5 章）。
第 6–10 章：模型與經典推斷
- 廣義線性模型、生存分析、時間序列、Poisson 過程（第 6 章）。
- 中心極限定理（第 7 章）。
- 點估計與區間估計、假設檢驗與預測（第 8 章）。
- 極大似然估計（第 9 章）;充分性與最優勢檢驗（第 10 章）。
第 11–12 章：貝葉斯與計算方法
- 先驗、後驗與層次模型（第 11 章）。
- Monte Carlo 積分與 Markov chain Monte Carlo（第 12 章）。
評析
優點
- 背後有經過檢驗的課程。 作者稱本書基於倫敦政治經濟學院一門受歡迎的本科課程，書評人 Fiona Steele（倫敦政治經濟學院）寫道，其內容和表述經過多年教學的打磨。
- 嚴謹而有解釋。 包括 Stuart Coles 在內的書評人稱讚形式數學與統計洞察之間的平衡以及講解的清晰。出版社明確提出，目標是給出比高等教材更詳細、更易於理解的解釋。
- 範圍廣。 一卷之中涵蓋機率、分佈理論、經典推斷、似然、貝葉斯統計和模擬，中間還有模型概覽。
- 內建練習。 Steele 的書評指出，概念以真實世界的例子來說明，每章都有大量由易到難的習題。
侷限
- 不是第一門課。 出版社面向的是已經學完機率與統計第一門課的學生。沒有這一基礎的讀者應先讀入門教材。
- 模型只是概覽。 第 6 章在一章之內涵蓋線性模型和廣義線性模型、生存分析、時間序列、Poisson 過程和 Markov 鏈，因此只是介紹而沒有對其中任何一個充分展開。
- 是橋梁，而非最終層次。 作為定位在入門教材與高等研究生教材之間的書，它不能代替基於測度論的機率論，也不能代替完整的推斷研究生課程。
在課程中的定位
在書單中的機率與統計書籍裡，這是一本接在第一門課之後的中高階教材。對於第一門課，Introductory Statistics 2e 和 The Art of Statistics 更為溫和，Blitzstein 與 Hwang 的 Introduction to Probability 是以故事和模擬為特色的本科機率教材。An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications 涵蓋機率、估計、假設檢驗和迴歸。
在它之上，有研究生水平、帶有詳細證明和習題的推斷教材 Statistical Inference,以及在測度論基礎上發展機率論的 Probability with Martingales。Probability and Computing 則通過演算法和隨機化來研究機率。一個有用的順序是：先學第一門課，再讀本書以獲得對機率、推斷和模型的統一論述，然後讀推斷或測度論機率的研究生教材。
如何使用本書
本書面向高年級本科或研究生課程中已學完機率與統計第一門課的學生，以及想了解自己所用方法背後的理論的資料科學家和應用從業者。紮實的微積分是實際需要的數學基礎。
一個實用的讀法：
- 核心： 第 2–5 章講機率與分佈，然後第 7–10 章講估計、檢驗、似然和推斷理論。這些是一學期課程的主幹。
- 選讀： 第 6 章關於模型的內容可以當作概覽，需要具體模型族時再回來看；第 11 章和第 12 章適合第二遍閱讀，或包含貝葉斯和計算統計的課程。
- 練習： 做每章末尾的習題，並用程式碼重現第 12 章的模擬方法。