统计推断

引用

Casella, G., & Berger, R. L. (2024). Statistical Inference (2nd ed.). CRC Press.（重印自2001年由Cengage Learning出版的第二版。）

章节概要

本书从概率论的第一原理出发建立理论统计学。推断理论通过一些技术、定义和概念来展开，它们都是前面内容的自然延伸。前五章是概率论，其余七章才是真正的推断。这里所述的版本有十二章，另有一个关于计算机代数的附录、一张常见分布表和参考文献。

第1章：概率论

本书的起点，从第一原理展开概率。前五章合起来讲概率论，包括多元分布、极限定理和随机样本。

第2章：变换与期望

随机变量经过变换后，其分布和期望值如何变化。

第3章：常见分布族

在各推断章节中用作模型的分布族。书末附有一张常见分布表，供查阅。

第4章：多个随机变量

同时考虑多个随机变量的理论。统计学需要它，因为数据是由许多观测构成的样本。

第5章：随机样本的性质

在进行任何推断之前，关于样本及由样本算出的统计量能说什么，是从概率通向统计的桥梁。

第6章：数据缩减原理

在不丢失与参数有关的信息的前提下概括数据的方法。对初版的一篇书评把充分性、似然和不变性列入其中。

第7章：点估计

构造参数估计量的方法，以及评判它们的准则。

第8章：假设检验

关于参数的假设检验的表述与评价。

第9章：区间估计

给出一个可信参数值区间，而不是单个数值的程序。

第10章：渐近评价

样本量变大时估计量和程序的性质。

第11–12章：方差分析与回归；回归模型

第11章把推断的方法用于方差分析和回归，第12章讨论回归模型。

核心概念

第1–5章：概率基础

• 随机变量的变换：求随机变量的函数的分布。
• 联合分布：把多个随机变量放在一起描述。
• 随机样本：来自同一分布的独立观测，以及由它们算出的统计量。

第6–10章：推断理论

• 数据缩减：在不丢失参数信息的前提下概括样本（充分性）。
• 点估计与区间估计：构造并评价估计量与区间程序。
• 假设检验：在关于参数的相互竞争的陈述之间作出决定的程序。
• 渐近评价：研究样本量增大时的估计量。

第11–12章：线性模型

• 方差分析与回归：关于组间比较和变量间关系的推断。

评析

优点

• 从概率一步步建立的理论。 出版社把本书描述为：通过由前面内容推出的技术和概念来展开推断理论，涵盖标准推断课程的全部话题，包括分布、随机变量、数据缩减、点估计、假设检验和区间估计。
• 有一点微积分基础即可读。 出版社说，文风清晰，只需要一些微积分背景，书中有数以百计的例子，每章都有成套的由易到难的习题。
• 重视理解。 出版社说，本书关注的是理解基本的统计概念并推导合理的程序，而不太侧重形式上的最优性问题。
• 书评称其表述清晰。 莱昂内尔·魏斯（Lionel Weiss）在 zbMATH 上评论初版时称本书写得非常清楚，习题很多，并含有一般入门教材中不常见的内容，例如斯坦现象。

局限

• 研究生水平的要求。 出版社说，本书主要面向统计学研究生，高年级本科生只有在数学基础扎实的情况下才可使用。
• 最优性理论不是重点。 想更深入学习最优估计和检验的读者，需要另一本书。
• 2001年版的重印。 2024年的CRC版重现的是2001年的第二版，因此不包含该领域后来的发展。
• 结构有变化。 初版的章目录里有一章决策理论，第二版的十二章中则没有。在不同版本之间切换的读者，应当对照目录。

在课程中的定位

本书是本课程中标准的理论书：基于微积分，从概率建立起来，涵盖估计、检验和线性模型。约瑟夫·布利茨坦与杰西卡·黄的 Introduction to Probability 是学习前五章的良好准备。An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications 涵盖概率、估计、检验、回归和方差分析，因此与本书的范围大体重叠。大卫·斯皮格哈尔特的 The Art of Statistics 和免费的 Introductory Statistics 2e 是非技术性或偏应用的，补充而不是取代理论。

大卫·威廉姆斯的 Probability with Martingales 提供了卡塞拉与伯杰所不用的测度论基础。马夫拉卡基斯与彭泽的 Probability and Statistical Inference 是研究生水平的书，还包括本书章标题中没有的贝叶斯方法和模拟。米岑马赫与厄普法尔的 Probability and Computing 面向的是计算机科学而非统计学。

如何使用本书

本书适合刚开始研究生学习的统计学学生，以及数学基础扎实、学过一年微积分的高年级本科生。

如果概率还很新，就仔细读第1至5章，因为后面各章依赖它们；如果不是，则浏览第1至4章，细读讲随机样本的第5章。第6至10章是推断的核心，最好按顺序读：先是数据缩减，再是点估计、假设检验和区间估计，最后是渐近理论。需要方差分析或回归的读者，可以单独读第11章和第12章。

做习题，它们的难度是分级的，并把常见分布表当作参考。对于目录之外的主题，例如贝叶斯推断，请另备一本配套教材。