鞅機率論

引用

Williams, D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press (Cambridge Mathematical Textbooks).

章節概要

用作者自己的話說，本書本質上是劍橋大學大學部三年級一門課程的講義。它講授基於測度論的嚴格機率論，並以鞅為主線，把讀者從基礎帶到強大數定律及更遠處。全書有一個起引導作用的第0章、三個部分（A：基礎，B：鞅論，C：特徵函式）、收納較長測度論證明的附錄，以及習題章第E章。各章的小節帶編號，若干結果有專名，並用箭頭標示其重要程度。

第0章：一個分支過程的例子

在講任何理論之前先看一個引導性例子。本章圍繞分支過程的子代個數、第n代的規模與滅絕機率展開，停下來思考需要怎樣的測度，並引入第一個鞅，以及期望是否收斂的問題。

第1–3章：測度空間；事件；隨機變數

A部從σ代數、博雷爾σ代數、測度空間、π系唯一性引理、卡拉泰奧多里擴張定理和勒貝格測度開始。接著給出試驗的(Ω, F, P)模型、幾乎必然成立的陳述、事件的上極限與下極限以及第一博雷爾–坎泰利引理，並把隨機變數定義為可測函式，討論律、分布函式、斯科羅霍德表示和單調類定理。

第4–6章：獨立性；積分；期望

獨立性通過π系來定義，並與第二博雷爾–坎泰利引理、擲硬幣模型、馬爾可夫鏈和柯爾莫哥洛夫0–1律聯絡起來。關於測度的積分構建了單調收斂定理、法圖引理、控制收斂定理和謝費引理。期望一章給出標準不等式（馬爾可夫、琴生、赫爾德、施瓦茨）、L^p空間，以及L²中的正交投影。

第7–8章：一個容易的強大數定律；乘積測度

藉助切比雪夫不等式的早期強大數定律與魏爾斯特拉斯逼近定理，展示基礎理論如何發揮作用。乘積測度、富比尼定理、聯合分布與密度，以及機率空間的無窮乘積，完成A部。

第9–11章：條件期望；鞅；收斂定理

B部從條件期望開始，由柯爾莫哥洛夫基本定理定義，並被解釋為最小二乘意義下的最佳預測。隨後是鞅、上鞅、適應過程與可料過程、停時和杜布可選停止定理，隨機遊動的擊中時間是應用例子。第11章證明杜布上穿引理和前向收斂定理，記號指南把後者標為鞅收斂定理。

第12–14章：L²有界鞅；一致可積性；UI鞅

平方可積鞅給出柯爾莫哥洛夫三級數定理、變異數條件下的強大數定律和尖括號過程。一致可積性給出L¹收斂的充要條件。UI鞅隨後匯出萊維上升與下降定理、柯爾莫哥洛夫0–1律與強大數定律的鞅證明、杜布不等式、關於乘積鞅的角谷定理和拉東–尼科迪姆定理。

第15章：應用

一章簡短的應用：鞅表示的一個結果、期權定價與離散布萊克–斯科爾斯公式、馬比諾吉翁綿羊問題、卡爾曼–布西濾波器，以及「harnesses」。

第16–18章：特徵函式的基本性質；弱收斂；中心極限定理

C部不使用鞅，討論特徵函式與萊維反演公式、含斯科羅霍德表示和胎緊性的弱收斂，以及藉助萊維收斂定理證明的中心極限定理。

附錄與第E章：習題

附錄A1、A3、A4、A5、A9、A13、A14和A16給出對應各章結果的證明，包括卡拉泰奧多里定理、單調類定理和重對數律。第E章約有19頁。

核心概念

第1–8章：基礎

• σ代數與測度：事件的集合，以及賦予它們大小的可數可加函式。
• 博雷爾–坎泰利引理：事件無窮多次發生的判據，分為不假定獨立與假定獨立兩種情形。
• 單調收斂、法圖引理與控制收斂：論證極限與積分可交換的三個結果。

第9–11章：條件期望與鞅

• 條件期望：給定資訊σ代數時，對隨機變數的最佳預測。
• 鞅與停時：公平博弈過程，以及由已有資訊決定的隨機時刻；杜布可選停止定理把二者聯絡起來。
• 杜布上穿引理：證明鞅收斂的工具。

第12–15章：收斂理論

• 一致可積性：依機率收斂能推出L¹收斂的條件。
• 萊維上升與下降定理：沿遞增或遞減濾子的條件期望的收斂。

第16–18章：特徵函式

• 特徵函式：分布的傅立葉變換，它決定分布，並且對獨立變數之和性質良好。
• 弱收斂與胎緊性：依分布收斂，以及保證子列極限存在的緊性條件。

評析

優點

• 以鞅為組織主線。 前言說，本書是為了讓嚴格的機率理論變得生動，結構也支援這一點：測度論只展開到需要的程度，隨後用鞅證明強大數定律、柯爾莫哥洛夫0–1律和拉東–尼科迪姆定理。zbMATH 的評論者 U·曼斯曼（U. Mansmann）指出，威廉姆斯把鞅的概念作為自然的概念來介紹，為掌握機率論要點提供了便捷的入口。
• 測度論分量適中。 前言說，核心結果在正文中以公理形式陳述，並在附錄中仔細證明。曼斯曼說，初學者也能讀懂這些附錄。
• 習題是全書的核心。 前言稱第E章為最重要的一章，並說這些習題就是威廉姆斯布置給劍橋學生的作業單。他還補充說，正文裡還有許多更容易的習題，讀者在讀證明之前先嚐試自己證明結論，這些習題便由此產生。
• 對取捨直言不諱。 「關於術語的一個問題」一節解釋了為什麼把隨機變數看作函式而非等價類；「記號指南」用箭頭給結果分級。前言列出了進一步學習的書目，並說明略顯過深的話題被省略了。

局限

• 講義形式。 正文是一套講義，前言本身也為許多話題列出了處理更透徹的其他書。
• 僅限離散時間。 前言希望讀者繼續學習引數集不可數的理論，例如連續時間，而本書不涉及。
• 應用較簡短。 第15章很短，其中的應用（期權定價、卡爾曼–布西濾波器、harnesses）只是初步一瞥，而非系統的處理。
• C部自成一體。 特徵函式與中心極限定理不使用鞅，所以全書的統一主題沒有延伸到最後三分之一。

在課程中的定位

在機率與統計課程中，本書是以測度論為基礎的一本。布利茨坦與黃的 Introduction to Probability 是初等的先修讀物，米岑馬赫與厄普法爾的 Probability and Computing 通過離散的、以演算法為中心的例子講機率。卡塞拉與伯傑的 Statistical Inference 以及數理統計教材在不用測度論的情況下把機率用於估計與檢驗，而威廉姆斯提供了這些教材略去的嚴格基礎。馬伕拉卡基斯與彭澤的 Probability and Statistical Inference 是把機率與推斷結合起來的研究生水平的書；若專注於條件期望與鞅的理論，威廉姆斯的這本更集中。

就隨機過程而言，本書是學習厄克森達爾 Stochastic Differential Equations 的自然準備，後者以條件期望和鞅收斂為前提，並附有相關附錄。施裡夫的 Stochastic Calculus for Finance I 在離散時間中、不用測度論地處理鞅，是更易入門的配套讀物。

如何使用本書

本書面向已經非形式化地接觸過機率、並學過實分析入門課程的學生；第2.5節回顧了上極限與下極限。前言說明本書源於劍橋大學三年級的一門課程。

先讀前言、「關於術語的一個問題」和「記號指南」，然後讀第0章。A部可以平穩推進，初讀時先把冗長的附錄證明（A1、A3）放一放。第5章和第6章對後續內容必不可少。B部的核心是第9至11章，以鞅收斂定理為終點；第12至14章加深它，第15章可選。C部獨立於鞅的各章，可在第8章之後閱讀。

讀時同步做第E章的習題，前言稱之為本書最重要的一章；並在讀證明之前先嚐試自己證明每個結果。前言中提到的書適合作為後續閱讀，以獲得對機率論更廣闊的視野並轉向連續時間理論。