マルチンゲールとの確率

引用

Williams, D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press (Cambridge Mathematical Textbooks).

章の要約

本書は、著者自身の言葉によれば、本質的にはケンブリッジ大学の学部3年次の講義ノートである。測度論に基づく厳密な確率論を教え、マルチンゲールを軸にして、基礎から大数の強法則とその先へと読者を導く。構成は、動機づけの第0章、三つの部（A：基礎、B：マルチンゲール理論、C：特性関数）、長い測度論的証明を収めた付録、そして演習問題の章である第E章からなる。各章の節には番号が付き、重要な結果のいくつかには名前が付けられ、重要度を示す矢印が付されている。

第0章：分枝過程の例

理論に入る前の動機づけの例。分枝過程について、子の数、第n世代の大きさ、絶滅確率をたどり、どのような測度が必要かを考え、最初のマルチンゲールと、期待値が収束するかどうかという問題を導入する。

第1～3章：測度空間、事象、確率変数

A部はσ代数、ボレルσ代数、測度空間、π系による一意性補題、カラテオドリの拡張定理、ルベーグ測度から始まる。続いて実験のモデル(Ω, F, P)、ほとんど確実に成り立つ主張、事象の上極限と下極限、第一ボレル–カンテリの補題を与え、確率変数を可測関数として定義し、法則、分布関数、スコロホッドの表現、単調族定理を扱う。

第4～6章：独立性、積分、期待値

独立性はπ系を用いて定義され、第二ボレル–カンテリの補題、コイン投げのモデル、マルコフ連鎖、コルモゴロフの0–1法則と結びつけられる。測度に関する積分では、単調収束定理、ファトゥの補題、優収束定理、シェッフェの補題を構成する。期待値の章では、標準的な不等式（マルコフ、イェンセン、ヘルダー、シュワルツ）、L^p空間、L²における直交射影が与えられる。

第7～8章：易しい強法則、積測度

チェビシェフの不等式を用いた早い段階の大数の強法則とワイエルシュトラスの近似定理が、基礎が実際に働く様子を示す。積測度、フビニの定理、同時分布と密度、確率空間の無限直積でA部が完結する。

第9～11章：条件付き期待値、マルチンゲール、収束定理

B部は条件付き期待値から始まり、コルモゴロフの基本定理によって定義され、最小二乗の意味で最良の予測として解釈される。続いて、マルチンゲール、優マルチンゲール、適合過程と予見可能過程、停止時刻、ドゥーブの任意停止定理が扱われ、ランダムウォークの到達時刻が応用例となる。第11章はドゥーブの上向き横断補題と前向きの収束定理を証明し、記法の手引きはこれをマルチンゲール収束定理と記している。

第12～14章：L²有界なマルチンゲール、一様可積分性、UIマルチンゲール

二乗可積分マルチンゲールから、コルモゴロフの三級数定理、分散条件下の強法則、山括弧過程が得られる。一様可積分性により、L¹収束の必要十分条件が示される。UIマルチンゲールでは、レヴィの上向き・下向き定理、コルモゴロフの0–1法則と強法則のマルチンゲールによる証明、ドゥーブの不等式、積マルチンゲールに関する角谷の定理、ラドン–ニコディムの定理が導かれる。

第15章：応用

短い応用の章で、マルチンゲール表現の結果、オプション価格付けと離散ブラック–ショールズの公式、マビノギオンの羊の問題、カルマン–ビューシー・フィルタ、「ハーネス」を扱う。

第16～18章：特性関数の基本性質、弱収束、中心極限定理

C部はマルチンゲールを使わず、特性関数とレヴィの反転公式、スコロホッドの表現とタイトネスを含む弱収束、レヴィの収束定理を通した中心極限定理を扱う。

付録と第E章：演習問題

付録A1、A3、A4、A5、A9、A13、A14、A16は、対応する章の結果の証明を与え、カラテオドリの定理、単調族定理、重複対数の法則などを含む。第E章は約19ページである。

主要概念

第1～8章：基礎

• σ代数と測度：事象の集まりと、それに大きさを与える可算加法的な関数。
• ボレル–カンテリの補題：事象が無限回起こるための基準で、独立性を仮定しない場合と仮定する場合がある。
• 単調収束定理、ファトゥの補題、優収束定理：極限と積分の交換を正当化する三つの結果。

第9～11章：条件付き期待値とマルチンゲール

• 条件付き期待値：情報を表すσ代数が与えられたときの確率変数の最良の予測。
• マルチンゲールと停止時刻：公平な賭けの過程と、それまでの情報で決まるランダムな時刻。両者はドゥーブの任意停止定理で結ばれる。
• ドゥーブの上向き横断補題：マルチンゲールの収束を証明する道具。

第12～15章：収束理論

• 一様可積分性：確率収束からL¹収束が従うための条件。
• レヴィの上向き・下向き定理：増大または減少するフィルトレーションに沿った条件付き期待値の収束。

第16～18章：特性関数

• 特性関数：分布のフーリエ変換で、分布を決定し、独立な変数の和に対して扱いやすい。
• 弱収束とタイトネス：分布収束と、部分列の極限の存在を保証するコンパクト性の条件。

批判的分析

長所

• マルチンゲールを軸にした構成。 序文は、確率の厳密な理論を生き生きとしたものにすることが本書の目的だと述べ、構成もそれを支える。測度論を必要な範囲まで展開し、そのうえでマルチンゲールが強法則、コルモゴロフの0–1法則、ラドン–ニコディムの定理を証明する。zbMATHの評者U・マンスマンは、ウィリアムズがマルチンゲールの概念を自然なものとして提示し、確率論の要点への近道を与えていると述べる。
• 測度論は必要な分量に。 序文によれば、中心的な結果は本文では公理的に述べられ、付録で丁寧に証明される。マンスマンは、付録が初学者にも読めると述べる。
• 本書の中心は演習。 序文は第E章を最も重要な章と呼び、演習はウィリアムズがケンブリッジの学生に出す宿題プリントだと述べる。さらに、本文には他にも易しい演習が多数含まれており、それは読者が証明を読む前に自分で証明を試みることで生まれるという。
• 選択を率直に述べる。 「用語の問題」の節は、確率変数を同値類ではなく関数として扱う理由を説明し、「記法の手引き」は結果に矢印で重要度を付ける。序文はさらに学ぶための本を挙げ、やや高度すぎると判断した話題を省いたと述べる。

短所

• 講義ノートという形式。 本文は講義ノートであり、序文自身が、多くの話題についてより詳しい扱いのために他の本を挙げている。
• 離散時間のみ。 序文は、読者が連続時間のようにパラメータ集合が非可算な理論へ進むことを期待しているが、本書はそれを扱わない。
• 応用は簡潔。 第15章は短く、その応用（オプション価格付け、カルマン–ビューシー・フィルタ、ハーネス）は体系的な扱いではなく入口の紹介である。
• C部は独立している。 特性関数と中心極限定理はマルチンゲールを使わないため、本書の統一的な主題は最後の3分の1には及ばない。

コースにおける位置づけ

本書は、確率・統計のコースで測度論に立つ一冊である。ブリッツステインとホワンの Introduction to Probability は初歩的な前提となる本で、ミッツェンマッハーとアップファルの Probability and Computing は離散的でアルゴリズム中心の例を通して確率を扱う。カセラとバーガーの Statistical Inference や数理統計の教科書は、測度論なしで確率を推定と検定に用いるが、ウィリアムズはそれらが省く厳密な土台を与える。マヴラカキスとペンザーの Probability and Statistical Inference は確率と推測を結びつけた大学院レベルの本で、条件付き期待値とマルチンゲールの理論に絞るならウィリアムズのほうが焦点が定まっている。

確率過程の面では、本書はエクセンダールの Stochastic Differential Equations の自然な準備になる。同書は条件付き期待値とマルチンゲールの収束を前提とし、それらに関する付録を備える。シュリーヴの Stochastic Calculus for Finance I は測度論なしの離散時間でマルチンゲールを扱い、より入りやすい併読書である。

本書の使い方

確率を非形式的に学んだことがあり、実解析の初歩を終えた学生を対象とする。2.5節で上極限と下極限が復習される。序文によれば、本書はケンブリッジの3年次の講義から生まれた。

序文、「用語の問題」、「記法の手引き」を読んだうえで、第0章に進む。A部は一定の速さで進み、長い付録の証明（A1、A3）は最初は後回しにしてよい。第5章と第6章は以後に不可欠である。B部の中心は第9～11章で、マルチンゲール収束定理に至る。第12～14章はそれを深め、第15章は任意である。C部はマルチンゲールの章から独立しており、第8章のあとで読める。

第E章の演習を並行して解く。序文はこれを本書で最も重要な章としている。各結果は、証明を読む前に自分で証明してみる。序文に挙げられた本は、確率論をより広く見渡し、連続時間の理論へ進むための次の読書に適している。