鞅概率论

引用

Williams, D. (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press (Cambridge Mathematical Textbooks).

章节概要

用作者自己的话说，本书本质上是剑桥大学本科三年级一门课程的讲义。它讲授基于测度论的严格概率论，并以鞅为主线，把读者从基础带到强大数定律及更远处。全书有一个起引导作用的第0章、三个部分（A：基础，B：鞅论，C：特征函数）、收纳较长测度论证明的附录，以及习题章第E章。各章的小节带编号，若干结果有专名，并用箭头标示其重要程度。

第0章：一个分支过程的例子

在讲任何理论之前先看一个引导性例子。本章围绕分支过程的子代个数、第n代的规模与灭绝概率展开，停下来思考需要怎样的测度，并引入第一个鞅，以及期望是否收敛的问题。

第1–3章：测度空间；事件；随机变量

A部从σ代数、博雷尔σ代数、测度空间、π系唯一性引理、卡拉泰奥多里扩张定理和勒贝格测度开始。接着给出试验的(Ω, F, P)模型、几乎必然成立的陈述、事件的上极限与下极限以及第一博雷尔–坎泰利引理，并把随机变量定义为可测函数，讨论律、分布函数、斯科罗霍德表示和单调类定理。

第4–6章：独立性；积分；期望

独立性通过π系来定义，并与第二博雷尔–坎泰利引理、掷硬币模型、马尔可夫链和柯尔莫哥洛夫0–1律联系起来。关于测度的积分构建了单调收敛定理、法图引理、控制收敛定理和谢费引理。期望一章给出标准不等式（马尔可夫、琴生、赫尔德、施瓦茨）、L^p空间，以及L²中的正交投影。

第7–8章：一个容易的强大数定律；乘积测度

借助切比雪夫不等式的早期强大数定律与魏尔斯特拉斯逼近定理，展示基础理论如何发挥作用。乘积测度、富比尼定理、联合分布与密度，以及概率空间的无穷乘积，完成A部。

第9–11章：条件期望；鞅；收敛定理

B部从条件期望开始，由柯尔莫哥洛夫基本定理定义，并被解释为最小二乘意义下的最佳预测。随后是鞅、上鞅、适应过程与可料过程、停时和杜布可选停止定理，随机游动的击中时间是应用例子。第11章证明杜布上穿引理和前向收敛定理，记号指南把后者标为鞅收敛定理。

第12–14章：L²有界鞅；一致可积性；UI鞅

平方可积鞅给出柯尔莫哥洛夫三级数定理、方差条件下的强大数定律和尖括号过程。一致可积性给出L¹收敛的充要条件。UI鞅随后导出莱维上升与下降定理、柯尔莫哥洛夫0–1律与强大数定律的鞅证明、杜布不等式、关于乘积鞅的角谷定理和拉东–尼科迪姆定理。

第15章：应用

一章简短的应用：鞅表示的一个结果、期权定价与离散布莱克–斯科尔斯公式、马比诺吉翁绵羊问题、卡尔曼–布西滤波器，以及“harnesses”。

第16–18章：特征函数的基本性质；弱收敛；中心极限定理

C部不使用鞅，讨论特征函数与莱维反演公式、含斯科罗霍德表示和胎紧性的弱收敛，以及借助莱维收敛定理证明的中心极限定理。

附录与第E章：习题

附录A1、A3、A4、A5、A9、A13、A14和A16给出对应各章结果的证明，包括卡拉泰奥多里定理、单调类定理和重对数律。第E章约有19页。

核心概念

第1–8章：基础

• σ代数与测度：事件的集合，以及赋予它们大小的可数可加函数。
• 博雷尔–坎泰利引理：事件无穷多次发生的判据，分为不假定独立与假定独立两种情形。
• 单调收敛、法图引理与控制收敛：论证极限与积分可交换的三个结果。

第9–11章：条件期望与鞅

• 条件期望：给定信息σ代数时，对随机变量的最佳预测。
• 鞅与停时：公平博弈过程，以及由已有信息决定的随机时刻；杜布可选停止定理把二者联系起来。
• 杜布上穿引理：证明鞅收敛的工具。

第12–15章：收敛理论

• 一致可积性：依概率收敛能推出L¹收敛的条件。
• 莱维上升与下降定理：沿递增或递减滤子的条件期望的收敛。

第16–18章：特征函数

• 特征函数：分布的傅里叶变换，它决定分布，并且对独立变量之和性质良好。
• 弱收敛与胎紧性：依分布收敛，以及保证子列极限存在的紧性条件。

评析

优点

• 以鞅为组织主线。 前言说，本书是为了让严格的概率理论变得生动，结构也支持这一点：测度论只展开到需要的程度，随后用鞅证明强大数定律、柯尔莫哥洛夫0–1律和拉东–尼科迪姆定理。zbMATH 的评论者 U·曼斯曼（U. Mansmann）指出，威廉姆斯把鞅的概念作为自然的概念来介绍，为掌握概率论要点提供了便捷的入口。
• 测度论分量适中。 前言说，核心结果在正文中以公理形式陈述，并在附录中仔细证明。曼斯曼说，初学者也能读懂这些附录。
• 习题是全书的核心。 前言称第E章为最重要的一章，并说这些习题就是威廉姆斯布置给剑桥学生的作业单。他还补充说，正文里还有许多更容易的习题，读者在读证明之前先尝试自己证明结论，这些习题便由此产生。
• 对取舍直言不讳。 “关于术语的一个问题”一节解释了为什么把随机变量看作函数而非等价类；“记号指南”用箭头给结果分级。前言列出了进一步学习的书目，并说明略显过深的话题被省略了。

局限

• 讲义形式。 正文是一套讲义，前言本身也为许多话题列出了处理更透彻的其他书。
• 仅限离散时间。 前言希望读者继续学习参数集不可数的理论，例如连续时间，而本书不涉及。
• 应用较简短。 第15章很短，其中的应用（期权定价、卡尔曼–布西滤波器、harnesses）只是初步一瞥，而非系统的处理。
• C部自成一体。 特征函数与中心极限定理不使用鞅，所以全书的统一主题没有延伸到最后三分之一。

在课程中的定位

在概率与统计课程中，本书是以测度论为基础的一本。布利茨坦与黄的 Introduction to Probability 是初等的先修读物，米岑马赫与厄普法尔的 Probability and Computing 通过离散的、以算法为中心的例子讲概率。卡塞拉与伯杰的 Statistical Inference 以及数理统计教材在不用测度论的情况下把概率用于估计与检验，而威廉姆斯提供了这些教材略去的严格基础。马夫拉卡基斯与彭泽的 Probability and Statistical Inference 是把概率与推断结合起来的研究生水平的书；若专注于条件期望与鞅的理论，威廉姆斯的这本更集中。

就随机过程而言，本书是学习厄克森达尔 Stochastic Differential Equations 的自然准备，后者以条件期望和鞅收敛为前提，并附有相关附录。施里夫的 Stochastic Calculus for Finance I 在离散时间中、不用测度论地处理鞅，是更易入门的配套读物。

如何使用本书

本书面向已经非形式化地接触过概率、并学过实分析入门课程的学生；第2.5节回顾了上极限与下极限。前言说明本书源于剑桥大学三年级的一门课程。

先读前言、“关于术语的一个问题”和“记号指南”，然后读第0章。A部可以平稳推进，初读时先把冗长的附录证明（A1、A3）放一放。第5章和第6章对后续内容必不可少。B部的核心是第9至11章，以鞅收敛定理为终点；第12至14章加深它，第15章可选。C部独立于鞅的各章，可在第8章之后阅读。

读时同步做第E章的习题，前言称之为本书最重要的一章；并在读证明之前先尝试自己证明每个结果。前言中提到的书适合作为后续阅读，以获得对概率论更广阔的视野并转向连续时间理论。