數與證明

引用

Allenby, R. B. J. T. (1997). Numbers and Proofs. Butterworth-Heinemann.

章節概要

本書是面向數學專業一、二年級大學部學生的溫和的證明入門。它不是抽象地講授邏輯，而是藉助關於數（整數、有理數、實數和複數）的問題來說明各種有用的證明方法；出版社說，每個證明之前都有一段討論，展示讀者在著手證明之前可能產生的想法。目的是讓讀者學會讀懂別人的證明，並構造自己的證明。文風被形容為風趣而不拘禮節，本書意在成為通往更高深大學部數學的橋梁。全書共十四章，其後是解答附錄、習題答案和參考文獻。

第1章：證明的必要性

開篇一章為證明辯護，這與本書所強調的一點相呼應：實驗中發現的真理必須用邏輯上可靠的論證來支撐。

第2章：命題與聯結詞

命題的語言，以及把命題連線起來的聯結詞，也就是後面各種證明所依賴的邏輯語法。

第3章：真還是假？

判斷命題的真假，延續上一章的邏輯基礎。

第4章：集合、否定、記號與函式

書寫證明所用的詞彙：集合、命題的否定、記號與函式。

第5–6章：「對所有……」的證明；「存在……」的證明

兩章分別講論證的兩種基本形式。前一章處理證明某性質對一個集合的所有成員成立，後一章處理證明某物件存在。

第7章：數學歸納法原理

歸納法作為一種證明方法，排在「對所有」與「存在」兩章之後。

第8–10章：整數與有理數；有理數與實數；實數與複數

把這些方法應用於各個數系，從整數和有理數出發，經過實數，再到複數。這幾章與書名中的「數」關係最直接。

第11–12章：猜測、類比與變換；推廣與特殊化

關於如何找到證明的章節：猜測、類比與變換，以及對問題作推廣或特殊化。

第13–14章：謬誤與悖論；雜集

一章講謬誤與悖論，顯示錯誤論證錯在何處；最後是一組雜集問題。

核心概念

第1–4章：邏輯與語言

• 命題與聯結詞：命題如何組合，複合命題何時為真或為假。
• 集合、否定與函式：證明所依賴的記號與命題的否定。

第5–7章：證明方法

• 「對所有」的證明與存在性證明：證明的兩種基本形式。
• 數學歸納法：由奠基步驟和歸納步驟證明對所有自然數成立的命題。

第8–14章：數與解題

• 數系：整數、有理數、實數和複數，是證明展開的舞臺。
• 類比、推廣與特殊化：尋找證明的策略。
• 謬誤與悖論：看似正確而實際錯誤的論證。

評析

優點

• 先思考，後證明。 出版社強調，每個證明之前都有一段討論，展示在著手證明之前可能產生的想法，因此讀者不僅看到證明如何被檢驗，也看到證明如何被發現。
• 證明有統一的舞臺。 因為方法是通過關於數系的問題來講授的，所以這些例子對剛從中學數學過來的學生並不陌生。出版社稱本書是通往更復雜的大學部數學的理想橋梁。
• 不止於常規的邏輯。 關於猜測、類比、推廣與特殊化，以及謬誤與悖論的最後幾章，處理的是發現與錯誤，而不僅是驗證。書中還強調，用無懈可擊的論證來支撐實驗中發現的真理，十分重要。
• 有助於自學。 目錄同時列有解答附錄和習題答案，讀者可以獨立檢查自己的作業。

局限

• 例子範圍較窄。 內容圍繞陣列織，目錄中沒有單獨講關係、基數或群等代數結構的章節。打算學代數的學生需要另外的教材。
• 邏輯只是工具。 有兩章講命題、聯結詞與真假，但本書是溫和的入門，並不打算發展形式邏輯；想要準確了解一階語言的讀者應轉向邏輯學教材。
• 口語化的文風。 出版社強調作者風趣而不拘禮節的文風。偏好簡潔、形式化敘述的讀者，可能會覺得別的書更合口味。

在課程中的定位

阿倫比的書是藉助數來講授的證明入門。理查德·哈馬克的 Book of Proof 是一本免費教材，面向從計算型數學轉向抽象數學的學生，依次講集合、邏輯、直接證明、逆否證明、反證法與歸納法，再講關係、函式與基數；它涵蓋的話題更廣，而阿倫比更接近單一的主線。丹尼爾·韋萊曼的 How to Prove It 從命題與量詞的邏輯出發，說明定理的邏輯形式如何提示證明策略，在邏輯方面更有系統。彼得·埃克爾斯的 An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets and Functions 在主題上最為接近，馬丁·利貝克的 A Concise Introduction to Pure Mathematics 則概覽純粹數學的若干領域。恩德頓的 A Mathematical Introduction to Logic 以及利裡與克里斯蒂安森的 A Friendly Introduction to Mathematical Logic 是邏輯學的形式化論述，應在本書這樣的書之後閱讀，而不是取代它。

如何使用本書

本書適合一、二年級大學部學生，包括此前的數學以計算為主的學生。具備中學數學就足夠了。

按順序讀第1至7章，因為這幾章提供邏輯詞彙和三種主要技巧（對所有、存在、歸納法）。第8至10章值得認真對待：讀完每個證明之前的討論後，先自己嘗試證明，再看書中的證明。第11至14章適合第二遍閱讀或隨意瀏覽。

做習題，並用解答附錄和答案核對。如果想在某種技巧上多做練習，可配合哈馬克或韋萊曼，待方法用起來得心應手後，再去學分析或代數的第一門課程。