数与证明

引用

Allenby, R. B. J. T. (1997). Numbers and Proofs. Butterworth-Heinemann.

章节概要

本书是面向数学专业一、二年级本科生的温和的证明入门。它不是抽象地讲授逻辑，而是借助关于数（整数、有理数、实数和复数）的问题来说明各种有用的证明方法；出版社说，每个证明之前都有一段讨论，展示读者在着手证明之前可能产生的想法。目的是让读者学会读懂别人的证明，并构造自己的证明。文风被形容为风趣而不拘礼节，本书意在成为通往更高深本科数学的桥梁。全书共十四章，其后是解答附录、习题答案和参考文献。

第1章：证明的必要性

开篇一章为证明辩护，这与本书所强调的一点相呼应：实验中发现的真理必须用逻辑上可靠的论证来支撑。

第2章：命题与联结词

命题的语言，以及把命题连接起来的联结词，也就是后面各种证明所依赖的逻辑语法。

第3章：真还是假？

判断命题的真假，延续上一章的逻辑基础。

第4章：集合、否定、记号与函数

书写证明所用的词汇：集合、命题的否定、记号与函数。

第5–6章：“对所有……”的证明；“存在……”的证明

两章分别讲论证的两种基本形式。前一章处理证明某性质对一个集合的所有成员成立，后一章处理证明某对象存在。

第7章：数学归纳法原理

归纳法作为一种证明方法，排在“对所有”与“存在”两章之后。

第8–10章：整数与有理数；有理数与实数；实数与复数

把这些方法应用于各个数系，从整数和有理数出发，经过实数，再到复数。这几章与书名中的“数”关系最直接。

第11–12章：猜测、类比与变换；推广与特殊化

关于如何找到证明的章节：猜测、类比与变换，以及对问题作推广或特殊化。

第13–14章：谬误与悖论；杂集

一章讲谬误与悖论，显示错误论证错在何处；最后是一组杂集问题。

核心概念

第1–4章：逻辑与语言

• 命题与联结词：命题如何组合，复合命题何时为真或为假。
• 集合、否定与函数：证明所依赖的记号与命题的否定。

第5–7章：证明方法

• “对所有”的证明与存在性证明：证明的两种基本形式。
• 数学归纳法：由奠基步骤和归纳步骤证明对所有自然数成立的命题。

第8–14章：数与解题

• 数系：整数、有理数、实数和复数，是证明展开的舞台。
• 类比、推广与特殊化：寻找证明的策略。
• 谬误与悖论：看似正确而实际错误的论证。

评析

优点

• 先思考，后证明。 出版社强调，每个证明之前都有一段讨论，展示在着手证明之前可能产生的想法，因此读者不仅看到证明如何被检验，也看到证明如何被发现。
• 证明有统一的舞台。 因为方法是通过关于数系的问题来讲授的，所以这些例子对刚从中学数学过来的学生并不陌生。出版社称本书是通往更复杂的本科数学的理想桥梁。
• 不止于常规的逻辑。 关于猜测、类比、推广与特殊化，以及谬误与悖论的最后几章，处理的是发现与错误，而不仅是验证。书中还强调，用无懈可击的论证来支撑实验中发现的真理，十分重要。
• 有助于自学。 目录同时列有解答附录和习题答案，读者可以独立检查自己的作业。

局限

• 例子范围较窄。 内容围绕数组织，目录中没有单独讲关系、基数或群等代数结构的章节。打算学代数的学生需要另外的教材。
• 逻辑只是工具。 有两章讲命题、联结词与真假，但本书是温和的入门，并不打算发展形式逻辑；想要准确了解一阶语言的读者应转向逻辑学教材。
• 口语化的文风。 出版社强调作者风趣而不拘礼节的文风。偏好简洁、形式化叙述的读者，可能会觉得别的书更合口味。

在课程中的定位

阿伦比的书是借助数来讲授的证明入门。理查德·哈马克的 Book of Proof 是一本免费教材，面向从计算型数学转向抽象数学的学生，依次讲集合、逻辑、直接证明、逆否证明、反证法与归纳法，再讲关系、函数与基数；它涵盖的话题更广，而阿伦比更接近单一的主线。丹尼尔·韦莱曼的 How to Prove It 从命题与量词的逻辑出发，说明定理的逻辑形式如何提示证明策略，在逻辑方面更有系统。彼得·埃克尔斯的 An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets and Functions 在主题上最为接近，马丁·利贝克的 A Concise Introduction to Pure Mathematics 则概览纯粹数学的若干领域。恩德顿的 A Mathematical Introduction to Logic 以及利里与克里斯蒂安森的 A Friendly Introduction to Mathematical Logic 是逻辑学的形式化论述，应在本书这样的书之后阅读，而不是取代它。

如何使用本书

本书适合一、二年级本科生，包括此前的数学以计算为主的学生。具备中学数学就足够了。

按顺序读第1至7章，因为这几章提供逻辑词汇和三种主要技巧（对所有、存在、归纳法）。第8至10章值得认真对待：读完每个证明之前的讨论后，先自己尝试证明，再看书中的证明。第11至14章适合第二遍阅读或随意浏览。

做习题，并用解答附录和答案核对。如果想在某种技巧上多做练习，可配合哈马克或韦莱曼，待方法用起来得心应手后，再去学分析或代数的第一门课程。