01 / 導讀
導讀
引用
Eccles, P. J. (1997). An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets and Functions. Cambridge University Press.
章節概要
序言之後，全書依次是六個板塊，每個板塊由兩到五個簡短的講授章節組成，末尾附一章習題（講授章節共二十四章）。書末是一章篇幅很長的習題解答和參考文獻。以下概要依章節標題展開。
The language of mathematics；Implications；Proofs；Proof by contradiction；The induction principle；Problems I
第一個板塊引入數學命題、蘊含以及標準的論證形式：直接證明、反證法和歸納原理。這一部分最直接地對應本書的既定目標，即教會學生理解和構造證明，並寫出清晰的數學。
The language of set theory；Quantifiers；Functions；Injections, surjections and bijections；Problems II
第二個板塊轉向集合、量詞和函式，包括把函式分為單射、滿射和雙射。後面的每個板塊都要用到這些工具。
Counting；Properties of finite sets；Counting functions and subsets；Number systems；Counting infinite sets；Problems III
第三個板塊是全書組合學的中心。它從計數和有限集合開始，接著討論函式與子集的計數，其中有一章講數系，最後探討無限集合如何計數。
The division theorem；The Euclidean algorithm；Consequences of the Euclidean algorithm；Linear diophantine equations；Problems IV
第四個板塊從帶餘除法定理和歐幾里得演算法開始進入數論，再沿著它們的推論一直講到線性丟番圖方程。
Congruence of integers；Linear congruences；Congruence classes and the arithmetic of remainders；Partitions and equivalence relations；Problems V
第五個板塊展開整數的同餘、線性同餘式的求解和同餘類的算術，最後以劃分與等價關係收尾。
The sequence of prime numbers；Congruence modulo a prime；Problems VI
最後一個板塊討論質數序列和模質數的同餘。
Solutions to exercises
習題解答約佔46頁，大約是全書的八分之一。
核心概念
前兩個板塊：證明與集合
- 蘊含與證明：「若……則……」命題的邏輯形式，以及建立這類命題的標準策略。
- 歸納原理：證明關於所有自然數的命題的方法。
- 量詞：「對所有」和「存在」的記法與含義。
- 單射、滿射與雙射：函式的三種性質，本書後面用它們來比較集合。
第三個板塊：計數
- 函式與子集的計數：用有限集合之間的對映和子集重新表述的計數問題。
- 無限集合的計數：把計數的想法推廣到無限集合。
後三個板塊：數論
- 歐幾里得演算法：第四個板塊核心的反覆做除法的方法，以及由它得到的推論。
- 線性丟番圖方程：整數方程，其可解性藉助該演算法判定。
- 同餘類及其算術：模 n 的餘數的運算。
- 等價關係與劃分：同餘類背後的一般結構。
評析
優點
- 目的明確。 劍橋大學出版社把本書介紹為面向剛開始大學數學學習的學生的數學證明基本思想入門，重點放在理解和構造證明以及寫出清晰的數學上。
- 透過三個主題學習證明。 本書沒有抽象地講邏輯，而是在集合論、組合學和數論上練習證明，出版社稱這些主題是每位數學家工具箱的一部分。
- 詳細的例題與課堂檢驗。 出版社把大量完整解出的例題和作者的課堂檢驗列為主要特點。
- 規律的練習節奏。 每個板塊都以習題章結束，解答章篇幅很長，足以支援自學。
- 緊湊的設計。 約360頁容納二十四個講授章節，每章6至15頁，讀者可以把每章當作一次學習的內容。
局限
- 話題範圍較窄。 章節列表局限於邏輯與證明、集合與函式、計數和初等數論。如果還想在分析、線性代數或代數中練習證明，就需要另一本書。
- 對數系和無限集合的處理簡短。 「Number systems」和「Counting infinite sets」各只有一章，每章十幾頁，想要完整地構造數系或學習較深入的基數理論的讀者需要再讀一本書。
在課程中的定位
在本課程的證明與邏輯類書籍中，埃克爾斯屬於教授怎樣寫證明的入門書，而不是邏輯學教材。哈馬克的 Book of Proof 是免費的證明方法入門，從集合、邏輯和計數開始；韋勒曼的 How to Prove It 則從命題的邏輯形式推導出證明策略。兩者都把證明技巧放在第一位。埃克爾斯的目標相近，但把近一半篇幅用於計數和初等數論，因此也可以作為這兩個領域的初步介紹。艾倫比的 Numbers and Proofs 在主題上最為接近，因為它同樣透過數和集合來接近證明。
偏重邏輯的書則是另一類。利裡和克里斯蒂安森的 A Friendly Introduction to Mathematical Logic 以及恩德頓的 A Mathematical Introduction to Logic 研究形式語言和演繹，而埃克爾斯不涉及這些。利貝克的 A Concise Introduction to Pure Mathematics 概覽純數學的若干領域，適合作為任何一本證明入門書之後的下一步。
如何使用本書
本書面向剛開始大學數學學習的學生，出版社提示的先修要求只有中學數學。對於需要為分析或代數的第一門課程練習證明的人，它同樣有用。
前兩個板塊應當按順序閱讀，因為它們提供了後面要用到的語言、證明技巧和函式詞彙。已經讀過哈馬克或韋勒曼這類證明教材的讀者可以讀得快一些。隨後可依次閱讀第三個板塊（計數）和數論各板塊（第四至第六個板塊）。
每個板塊末尾的習題要在繼續往下讀之前做完，認真嘗試之後再核對解答。解答章可以用來觀察一個完整的論證是怎樣寫出來的，因為寫出清晰的數學正是本書明確提出的目標之一。