01 / 導讀
導讀
引用
Enderton, H. B. (2001). A Mathematical Introduction to Logic (2nd ed.). Harcourt/Academic Press.
章節概要
第二版是一本約300頁的精悍教材。在前言和引言之後有五章（從第0章編號），其後是進一步閱讀建議、符號表和索引。出版社稱，本書為沒有學過邏輯、但有一定數學推理經驗的讀者而寫，並比第一版更靈活地讓課程自行取捨內容。書中增加了關於計算複雜性和資料庫查詢等電腦科學問題的材料，以及關於集合的補充入門內容。各章篇幅懸殊，這是判斷內容分量的有用線索。
第0章：Useful Facts about Sets（關於集合的有用事實）
一個十頁的短章，彙集邏輯各章所依賴的集合論背景。它是在遇到不熟悉的概念時查閱的參考，而不是一門集合論課程。
第1章：Sentential Logic（命題邏輯）
五十六頁，講命題邏輯，是所研究的第一個邏輯系統。本章內容包括真值指派、語句的分析（parsing）演算法，以及緊緻性與有效性（effectiveness）。
第2章：First-Order Logic（一階邏輯）
最長的一章，共115頁，涵蓋一階語言、真與模型。它佔全書三分之一以上，是全書的中心。
第3章：Undecidability（不可判定性）
以不可判定性為題的一百頁。結尾幾節包括第二不完備性定理和指數函式的表示，因此本章觸及了不完備性結果。
第4章：Second-Order Logic（二階邏輯）
篇幅短小的最後一章，共25頁。內容包括二階語言、Skolem 函式、多類邏輯和一般結構。
核心概念
第0–1章：集合與命題邏輯
- 真值指派：給語句符號指派真值的方式，用來定義公式何時為真。
- 分析演算法：判定一個符號串是否為合式語句並恢復其結構的程式。
- 緊緻性：把一個語句集的可滿足性與其有限子集的可滿足性聯絡起來的性質。
第2章：一階邏輯
- 一階語言：帶量詞的形式語言，用來書寫關於數學結構的陳述。
- 真與模型：語句在結構中何時成立的定義，以及理論的模型的概念。
第3–4章：不可判定性與二階邏輯
- 第二不完備性定理：對理論自身一致性之可證性的限制，在第3章討論。
- Skolem 函式與多類邏輯：出現在講二階語言的最後一章中的手段。
評析
優點
- 面向邏輯的初學者。 出版社說明，本書適合沒有學過邏輯但有數學推理經驗的讀者；第二版被描述為更便於當今數學和哲學專業的本科生使用。
- 使用靈活。 介紹強調修訂版提供了更大的靈活性，可以選擇在課程中如何使用本書。
- 與電腦科學相聯絡。 出版社突出了關於計算複雜性和資料庫查詢的材料，使本書對理論電腦科學的學生和數學、哲學的學生都有意義。
- 篇幅緊湊、比例分明。 全書317頁、五章，短到可以通讀，頁數讓各章的分量一目瞭然：一階邏輯和不可判定性佔去約三分之二的篇幅。
侷限
- 只有五個主題。 內容是集合、命題邏輯、一階邏輯、不可判定性和二階邏輯。想把模型論、集合論或可計算性當作獨立學科來學的讀者需要另讀其他書，書中的進一步閱讀建議是起點。
- 對證明技巧幫助不多。 本書假定讀者有一定的數學推理經驗，還沒寫過證明的學生應先讀一本講證明寫作的書。
在課程中的定位
Enderton 是本書單中的形式邏輯教材，面向已經會寫證明的學生。Hammack 的 Book of Proof 和 Velleman 的 How to Prove It 講授本書所預設的證明技巧和基本邏輯。Leary 與 Kristiansen 的 A Friendly Introduction to Mathematical Logic 是面向高年級本科生的數理邏輯第一門課的開放教材，如果 Enderton 節奏太快，它是更平緩的替代品或搭檔。
書單中其餘關於純數學、數學推理以及數與證明的書，涉及的範圍比邏輯更廣。當目標是對語言、結構和證明的形式研究、並以不完備性和不可判定性為頂點時，應選 Enderton。
如何使用本書
出版社給出的讀者物件是電腦科學、哲學和數學專業的本科生與研究生。讀者應能自如地對待數學證明；對集合有基本瞭解會有幫助，第0章可補缺。
- 核心： 第1、2章構成第一門課，合計約170頁。
- 接著： 第3章講不完備性和不可判定性，與可計算性相聯絡，書中最著名的結果就在這裡。
- 選讀： 講二階邏輯的第4章，第0章只在需要時查閱。
閱讀時應按頁數而不是章號安排時間，因為僅第2章就比第0、1、4章加起來還長。練習時要親手寫出關於語法和語義的論證，而不是被動地閱讀。關於模型論、集合論和可計算性，可利用書末的進一步閱讀建議。