01 / 導讀
導讀
引用
Liebeck, M. W. (2015). A Concise Introduction to Pure Mathematics (4th ed.). CRC Press.
章節概要
背景與主旨
馬丁·利貝克（Martin Liebeck）任教於倫敦帝國理工學院，他為具有紮實高中基礎的學生寫了這本書，作為大學數學的初次一瞥。出版社稱，本書介紹純數學中一些最基本、最美妙的思想：既涵蓋標準內容，也包括在這一層次通常見不到的主題，如三次方程的求解、關於立體的頂點、稜和麵數目的尤拉公式與五種柏拉圖立體、用素數對秘密資訊編碼和解碼、比較無窮集合的大小，以及關於極限與連續函式的嚴格理論。
第四版增加了兩章，通過群論介紹抽象代數，並新增了關於不等式、計數方法、容斥原理和尤拉函式的內容，還有大量新習題，奇數題的解答附在書後。全書共二十六個短章，使它成為一系列相對獨立的數學片段，而不是一條持續展開的論證主線。
第1章：Sets and Proofs（集合與證明）
開篇一章介紹集合的語言和構造數學論證的基本方法，全書其餘部分都要用到。
第2–7章：數與方程
第2章「數系」考察整數、有理數和實數及其性質。第3章「小數」討論小數表示，包括迴圈小數與有理數的聯絡。第4章涵蓋 n 次方根與有理數冪，第5章是不等式，第6章是複數，第7章是多項式方程，其中三次方程的求解理論是本書的一個特色。
第8–9章：歸納法；尤拉公式與柏拉圖立體
第8章闡述數學歸納法。第9章利用把立體的頂點、稜、面數聯絡起來的尤拉公式，證明柏拉圖立體恰有五種。
第10–15章：整數與密碼
第10章回到整數及其整除性質。第11、12章討論素因數分解及關於素數的進一步結果，第13、14章討論整數的同餘。第15章「秘密密碼」把素數和同餘應用於秘密資訊的編碼和解碼。
第16–21章：計數、集合、函式與無窮
第16章「計數與選取」介紹計數方法。第17章回到集合，第18章引入等價關係。第19章討論函式，第20章討論置換。第21章「無窮」說明如何比較無窮集合的大小。
第22–24章：分析
這三章對分析做初步的嚴格處理：界（第22章）、極限（第23章）和連續性（第24章）。
第25–26章：群
第四版增加的這兩章通過群來介紹抽象代數，並用例子展示抽象推理的運作方式。
書末內容
全書以奇數題解答、延伸閱讀書目和符號索引結束。
核心概念
第1–9章
- 證明與集合：後面各章所依賴的語言和方法。
- 數系：整數、有理數、實數和複數。
- 多項式方程：包括三次方程的求解。
- 歸納法：證明關於所有自然數的命題。
- 尤拉公式：頂點、稜和麵之間的關係，限定了柏拉圖立體的可能數目。
第10–21章
- 素因數分解：把整數分解為素數。
- 同餘：用餘數做算術，在「秘密密碼」一章中使用。
- 計數：計數排列與選取的方法，包括容斥原理。
- 等價關係與函式：組織集合的結構。
- 比較無窮集合：說明兩個無窮集合何時大小相同的方法。
第22–26章
- 界、極限與連續性：分析學的基礎。
- 群：抽象代數的基本結構。
評析
優點
- 易於入門。 出版社說，本書適合所有具備紮實高中數學基礎的學生，因此適合向大學純數學過渡。
- 覆蓋面廣，且有不尋常的主題。 一本書裡涵蓋數、代數、幾何、計數、無窮、分析和群，並包含三次方程、柏拉圖立體等在這一層次不常見的主題。
- 章節短小。 全書約320頁、二十六章，平均每章大約十幾頁，讀者可以分小塊、按不同順序消化材料。
- 習題附解答。 第四版有大量新習題，並給出奇數題的解答，適合自學。
局限
- 廣度重於深度。 一本書裡主題繁多，沒有一個得到長篇論述。分析部分有三章，代數只有兩章，希望系統學完其中任何一門課程的讀者需要另備教材。
- 不只是講證明方法的書。 第1章以及關於歸納法和集合的章節引入了證明，但本書是對數學主題的巡禮，而不是對邏輯與證明技巧的系統專著。
- 應用較少。 書中有一章關於秘密密碼，但主要內容是純粹為了數學本身的純數學。
在課程中的定位
在邏輯、集合與證明類的書中，利貝克的這本是對純數學的廣泛巡禮。Hammack 的 Book of Proof 是免費的證明方法入門書，Velleman 的 How to Prove It 則展開命題與量詞的邏輯，以及集合、關係和函式的語言。這兩本在證明方面都比利貝克更系統，而利貝克把證明放在對多種主題的概覽之中。Eccles 的 An Introduction to Mathematical Reasoning 和 Allenby 的 Numbers and Proofs 也是關於數學推理和數系的書，可與利貝克並用，深入這些主題。
Leary 與 Kristiansen 的 A Friendly Introduction to Mathematical Logic 和 Enderton 的 A Mathematical Introduction to Logic 是形式邏輯方面的書。它們超出了利貝克第1章的範圍，適合在熟悉數學證明之後想要研究邏輯本身的讀者。
如何使用本書
本書面向一年級本科生，以及希望瞭解大學純數學是什麼樣子、具有紮實高中基礎且有求知慾的學生。由於附有奇數題解答，它也適合自學。
一個好辦法是依序讀第1–9章，它們奠定證明、數和歸納法的基礎，然後按需要在後面幾塊中選擇：第10–15章講數論和密碼，第16–21章講計數、函式和無窮，第22–24章講分析，第25–26章講群。即將學習第一門分析或代數課程的讀者，應在開課前讀相應的部分。
邊讀邊做習題，用解答核對奇數題，偶數題則嘗試獨立完成。書末的延伸閱讀書目提示了在某個主題引起興趣之後可以往哪裡繼續。