Numbers and Functions: Steps into Analysis（数与函数：走进分析学）

引用

Burn, R. P. (2015). Numbers and Functions: Steps into Analysis (3rd ed.). Cambridge University Press.

章节概要

本书由800多道编号问题串联而成，大多数附有简短答案。问题分布在"数"与"函数"两部分共12章中，另有三个简短的附录。读者不是阅读证明，而是逐题作答。各章开头列出预备阅读、同步阅读和延伸阅读（例如第1章就归纳法推荐了波利亚和索明斯基的著作）。每当一个重要思想告一段落，就有一段小结，随后是历史注记和答案。第一版出版于1992年，第二版于2000年；第三版（2015年）修订了细节，并改写了第3章和第10章中的少数问题。

第1章：数学归纳法

开篇一章培养用归纳法证明的习惯。最初的问题先在小的情形下检验一个公式，再说明对某个值成立如何传递到下一个值。据第一版序言，第1、2章是为那些需要在正式进入分析学之前巩固技巧和信心的学生准备的。

第2章：不等式

本章大多数问题从明确给出的公理出发，推导数系和不等式的基本性质。序言把这看作一种练习：分辨哪些是熟悉的，哪些是真正证明过的。

第3章：数列：对无穷的初次尝试

极限通过趋于零的数列（无穷小数列）引入。第三版中，这一引入建立在阿基米德求面积和体积的方法之上。本章在尚未假设完备性的情况下展开数列的收敛。

第4章：完备性：有理数缺少什么

本书以"每个无限小数都收敛"作为完备性公理，并由此推出有界单调数列收敛。序言承认这比通常的路线更费篇幅，但认为它能让学生的理解保持主动。第二版加重了上确界（最小上界）的作用。

第5章：级数：无穷的和

第一部分的最后一章转向无穷的和。David Tall 为第三版撰写的推荐语介绍了本书的路线：从无穷小数列到数列的极限、完备性，再到一整套无穷级数收敛判别法。

第6章：函数与连续性：邻域、函数的极限

第二部分从函数、邻域和函数的极限开始。序言说明，本章建立在第3章之上，但完全不依赖完备性。序言还解释了作者为何偏好用收敛数列来定义连续性：根据教学经验，他认为这比邻域定义更有效。

第7章：连续性与完备性：区间上的函数

本章证明区间上连续函数的较难定理，这些定理都依赖完备性。证明使用有界数列的收敛子列。

第8章：导数：切线

导数的定义，以及积、商和链式法则这些不依赖完备性的性质。反函数的求导也放在这一章。

第9章：微分与完备性：中值定理、泰勒定理

需要完备性的结果，从罗尔定理经中值定理到泰勒定理。

第10章：积分：微积分基本定理

本章先用牛顿以前曾经使用或可能使用的方法计算面积。第三版开头的问题在不诉诸完备性的情况下求连续单调曲线下的面积。接着用阶梯函数建立黎曼积分，完备性通过上积分和下积分进入，本章以微积分基本定理结束。

第11章：指数与圆函数

本书不用积分或幂级数来定义指数函数、对数函数和三角函数，而是从指数（乘方）和圆弧长度出发。序言承认这种处理比通常更长，但指出它应用了前十章的定理。

第12章：函数列

关于一致收敛的收尾一章，有些课程把这部分内容推迟到二年级。本章讨论逐项积分和逐项求导，从而完成对中学微积分的大学式处理。

附录1–3：实数的性质；几何与直觉；供学生探究和讨论的问题

简短的附录列出课程所依赖的实数性质，谈及几何与直觉，并提供供探究和讨论的开放问题。

核心概念

第1–2章：数学归纳法；不等式

• 归纳法证明：先检验小的情形，再证明对某个自然数成立可以传递到下一个。
• 基于公理的数的性质：不把关于顺序和不等式的熟悉事实视为理所当然，而是从明确给出的公理推出。

第3–5章：数列；完备性；级数

• 无穷小数列：趋于零的数列，本书讲极限的出发点。
• 以无限小数表述的完备性：每个无限小数都收敛这一公理，由此证明有界单调数列收敛。
• 作为极限的级数：无穷的和是其部分和的极限。

第6–7章：连续性

• 序列连续性：通过收敛数列定义的连续性，本书采用的定义。
• 区间上的连续性：依赖完备性的一组定理，借助有界数列的收敛子列来证明。

第8–10章：导数与积分

• 不需要完备性的求导法则：积、商和链式法则仅由定义即可推出。
• 中值定理与泰勒定理：需要完备性的结果。
• 用阶梯函数建立黎曼积分：由阶梯函数构造的上积分与下积分。

第11–12章：指数与圆函数；函数列

• 从基本原理出发的初等函数：指数与对数从乘方展开，圆函数从弧长展开。
• 一致收敛：保证逐项积分和逐项求导成立的条件。

评析

优点

• 在构造中学习。 第一版序言阐明了设计原则：让学生利用已知的东西生成新概念，并从精心挑选的特殊情形走向一般定理。问题的编排使读者能够自己表述定义和定理。
• 关注基础的严格性。 作者说，本书比通常更坚持让学生清楚在论述的每一步需要公理基础的哪一部分。章名体现了这一点：连续性、微分，以及从第三版起的积分，都被分成不需要完备性的部分和需要完备性的部分。
• 经过分析学教师的检验与推荐。 第二版序言记载，华威大学采用的以问题解决为主的一年级分析学教学，使用了前五章中的大量问题。这一经验带来了更多的小结和图示，并为小定理起了简短的名字。David Tall 为第三版撰写的推荐语称赞问题的编排精当，小结有助于构建全局图景。European Mathematical Society Newsletter 评价本书通俗易懂而又精确。
• 以历史为向导。 历史注记贯穿全书。序言认为，中学微积分大致停留在18世纪的严格性水平，因此重走19世纪的发展历程，是通往现代分析学的自然途径。

局限

• 无法略读。 800多道问题承担了大部分理论内容，不做题的读者收获甚少。
• 有些选择不合常规。 以无限小数收敛表述的完备性、用数列定义的连续性、从乘方和弧长建立的指数函数与圆函数，都不同于多数课程采用的定义。作者也承认其中一些路线较长。学生需要把它们与自己课程中的定义联系起来。
• 带有写作年代的假设。 第一版序言假定读者有科学计算器并能使用绘图软件，还假定读者具备英国中学高年级（sixth form）的微积分背景，其他教育体系的读者可能需要自行调适。

在课程中的定位

在本课程的书目中，Burn 的书是专为动手练习而设计的。Lara Alcock 的 How to Think About Analysis 是一本解释如何阅读定义和证明的学习指南，而 Burn 则让学生通过问题亲自构造它们。两本书适合在第一门分析学课程之前或期间搭配使用：Alcock 培养思维习惯，Burn 提供同一主题的持续练习。

作为第一门严格课程的主教材，Stephen Abbott 的 Understanding Analysis 以连贯的行文给出带完整证明的理论，许多学生会用 Burn 的问题来为其前几章做准备或加以巩固。Bartle 与 Sherbert 的 Introduction to Real Analysis 是更全面的教科书。Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 是供日后学习的形式化经典。Victor Bryant 的 Yet Another Introduction to Analysis 是讲授同样核心内容的另一本入门书。作者把本书定位为通往度量空间、点集拓扑或多元微积分的跳板。

如何使用本书

本书面向从中学微积分过渡到大学分析学的学生，用作者的话说，就是在中学学过微积分、准备好严格地重新审视它的读者。前提是中学代数和微积分，以及动笔演算的意愿。

• 按顺序做每一道题。 理论就在问题之中。先尝试每一道题，再核对简短答案，并利用小结巩固理解。
• 参照依赖关系图。 序言给出了各章相互依赖的图示。已经熟练掌握归纳法和不等式的学生可以跳过第1–2章。第3、4、5章构成关于数列、完备性和级数的核心。第6章只需要第3章，第7、9、10章用到完备性。
• 与自己的课程对应。 数列与级数课程重点做第3–5章；连续、微分与积分则做第6–10章。讲初等函数的第11章和讲一致收敛的第12章是自然的延伸；序言也指出，有些课程把一致收敛推迟到二年级。
• 小组使用。 这些问题适合工作坊和结对学习，附录3还提供了供探究和讨论的问题。