01 / 導讀
導讀
引用
Silverman, J. H. (2017). A Friendly Introduction to Number Theory (4th ed., Classic Version). Pearson. (Fourth edition first published 2012.)
章節概要
第四版共有46個印刷章節，大多篇幅很短（常為五到十頁），另有四章和兩個附錄免費線上釋出。作者網站給出的印刷篇幅為 ix + 409 頁，線上部分56頁。引言包括一份教師指南和關於計算機使用的討論，第 ix 頁的流程圖顯示各章之間的依賴關係。本書源自布朗大學的 Math 42 課程，該課程旨在吸引非理科學生學習大學數學。
第1–4章：什麼是數論？；畢氏三元數；畢氏三元數與單位圓；高次冪之和與費馬大定理
本書首先列出各類數（平方數、質數、三角數、完全數和斐波那契數），並介紹關於它們的典型問題。隨後先用代數方法、再借助單位圓上的有理點用幾何方法對畢氏三元數分類，並追問高次冪的情形，引出費馬大定理。
第5–7章：整除性與最大公因數；線性方程與最大公因數；因數分解與算術基本定理
輾轉相除法、線性方程 ax + by = c 的求解，以及質因數分解的唯一性。
第8–11章：同餘；同餘、冪與費馬小定理；同餘、冪與尤拉公式；尤拉φ函數與中國剩餘定理
模 m 的算術，包括反證法以及「d 次多項式模 p 至多有 d 個根」這一事實。這幾章講費馬小定理、尤拉公式、φ函數和中國剩餘定理。
第12–15章：質數；質數計數；梅森質數；梅森質數與完全數
質數有無窮多個（第1章預告，將在第12章和第21章證明模4餘1和餘3的質數都有無窮多個，並討論狄利克雷的一般定理）、質數的計數、梅森質數及其與完全數的聯繫。
第16–19章：模 m 的冪與逐次平方；計算模 m 的 k 次方根；冪、根與「牢不可破」的密碼；質數檢定與卡邁克爾數
快速模冪運算和模 m 求根引出第18章的 RSA 公鑰密碼系統，隨後是質數檢定方法和卡邁克爾數。
第20–23章：模 p 的平方；−1 是模 p 的平方嗎？2 呢？；二次互反律；二次互反律的證明
二次剩餘與勒讓德符號、−1 和 2 這兩種特殊情形、二次互反律（包括雅可比符號），以及艾森斯坦的證明。序言指出第23章難度明顯更高，可以省略。
第24–25章：哪些質數是兩個平方數之和？；哪些數是兩個平方數之和？
費馬關於可表為兩平方和的質數的定理，以及把它推廣到所有整數。
第26–29章：易如一二三；尤拉φ函數與因數和；模 p 的冪與原根；原根與指標
第四版新增的數學歸納法一章，接著是因數和。隨後討論原根和指標，並給出在科斯塔斯陣列上的應用。由於學生認為原根定理是全書最難的定理之一，這一版把它們移到了後面。
第30–34章：方程 X⁴ + Y⁴ = Z⁴；再論平方三角數；佩爾方程；丟番圖逼近；丟番圖逼近與佩爾方程
證明四次方數不能是兩個四次方數之和，然後從平方三角數引到佩爾方程，並藉助丟番圖逼近求解。
第35–37章：數論與虛數；高斯整數與唯一分解；無理數與超越數
高斯整數及其唯一分解，以及關於無理數與超越數的一章。
第38–40章：二項式係數與巴斯卡三角；斐波那契的兔子與線性遞推數列；啊，多麼美妙的函數
二項式係數與巴斯卡三角，斐波那契數列及其他線性遞推數列（包括斐波那契數列模 p 的週期），以及引入大O記號並用到微積分的一章。
第41–46章：三次曲線與橢圓曲線；有理點很少的橢圓曲線；橢圓曲線上模 p 的點；模 p 的撓點集與壞質數；虧量界與模性模式；橢圓曲線與費馬大定理
橢圓曲線入門：有理點、模 p 的點、壞質數、虧量界以及與模性有關的規律。最後概述懷爾斯證明費馬大定理的一些思想。
第47–50章（線上）：連分數的顛倒世界；連分數與佩爾方程；生成函數；冪和
關於連分數及其在佩爾方程中的應用、生成函數和冪和的免費線上章節，另附小合數因數分解表和質數表兩個附錄。
核心概念
第1–11章：基礎
- 畢氏三元數與有理點：a² + b² = c² 的整數解與單位圓上的有理點相對應。
- 輾轉相除法：計算最大公因數並求解整數線性方程。
- 算術基本定理：質因數分解的唯一性。
- 同餘、費馬小定理與尤拉公式：模算術的基本工具。
- 中國剩餘定理：求解模數兩兩互質的同餘方程組。
第12–19章：質數與密碼學
- 梅森質數與完全數：形如 2ⁿ − 1 的質數及其與偶完全數的聯繫。
- 逐次平方與模 m 的 k 次方根：RSA 背後的計算。
- 卡邁克爾數與質數檢定：能騙過費馬檢驗的合數，以及更強的檢驗方法。
第20–29章：二次剩餘與原根
- 二次互反律：把「p 是否為模 q 的平方」與「q 是否為模 p 的平方」聯繫起來的定律。
- 兩平方和：哪些質數和整數可以寫成 a² + b²。
- 原根：其各次冪給出模 p 的所有非零剩餘的數。
第30–46章：丟番圖方程及更遠
- 佩爾方程：x² − Dy² = 1，藉助丟番圖逼近求解。
- 高斯整數：a、b 為整數的複數 a + bi，同樣具有唯一分解性。
- 橢圓曲線：一種三次曲線，其上的點可以在有理數上和模 p 下研究，是費馬大定理證明的核心。
評析
優點
- 先發現，後證明。 序言提出的目標是引導讀者進行數學思考：先考察數值例子中的規律並據此提出猜想，然後才證明定理。作者免費公開的第1–6章正是按照「先實驗、後證明」的模式展開的。
- 前提極少，卻通向真正的數學。 只需要高中代數。作者指出，只有可省略的第40章和第49章實質性地用到微積分。然而本書一直講到二次互反律、佩爾方程、高斯整數和橢圓曲線。
- 為靈活的課程而設計。 引言說本書約有兩個學期的內容，建議以第1–11章為基礎並講到第18章的 RSA，然後給出幾條一學期的路線，其中一條專為打算繼續學習電腦科學或密碼學的學生設計。依賴關係流程圖以及第23章可以省略這一點，使選材很方便。
- 開放式習題與合理使用計算機。 許多習題有意設計成開放式的（「儘可能多地告訴我關於……的事」），作者提醒學生起初可能會感到不安。作者鼓勵學生自己程式設計實現演算法，而不是依賴現成軟體，並對需要計算機的習題和專案作了標記。
局限
- 章節短，因而章節多。 印刷章節多達46章，有些主題分散在好幾章中，讀起來可能顯得零碎。教師需要藉助流程圖來規劃路線。
- 對基礎好的學生可能節奏偏慢。 以例子為主、親切隨和的文風適合初學者。已經學過同餘的學生可能會覺得開頭幾章過於從容，而且本書也不是一本簡明的參考書。
- 部分內容只在網上。 連分數、生成函數和冪和已從印刷版中移出。作者還指出，某些低價印本刪去了第21章並重新編排了後續章節號，因此他在網上免費提供了這一章。
在課程中的定位
Silverman 的書是本數論書單中親切的第一本教材。Robin Wilson 的 Number Theory: A Very Short Introduction 是一份快速概覽，可以先讀以瞭解全貌，然後由 Silverman 教學生真正動手做數學。David Burton 的 Elementary Number Theory 是一本更傳統的大學部教材，在歷史和計算方面涉及更廣。Kraft 和 Washington 的 An Introduction to Number Theory with Cryptography 適合希望比 Silverman 第16–19章更以密碼學為中心的學生。
Ireland 和 Rosen 的 A Classical Introduction to Modern Number Theory 以及 Hardy 和 Wright 的 An Introduction to the Theory of Numbers 是自然的下一步：前者進入代數數論，後者是經典的綜合性鉅著。Silverman 關於高斯整數和橢圓曲線的章節，是對 Ireland 和 Rosen 正式展開的那些主題的溫和預習。
如何使用本書
本書面向修讀第一門數論課程的大學部學生（包括非數學專業學生）以及自學者。前提是高中代數和樂於實驗的態度，有一個簡單的計算器就夠了。會程式設計的讀者被鼓勵自己實現各種演算法。
- 核心： 第1–11章，然後按作者的建議一直講到第18章的 RSA。
- 選擇後半部分： 引言建議的路線包括二次互反律、兩平方和、佩爾方程與連分數（第20–26、31–34、47–48章），或費馬方程與橢圓曲線（第30–34、41–46章）。面向電腦科學的路線是第19–22、26–29和38–40章。第23章可以跳過。
- 認真做開放式習題。 在尋找證明之前，先收集資料、嘗試特殊情形並尋找推廣。
- 利用作者的網站獲取線上章節、勘誤表以及較長計算機習題所需的資料。