An Introduction to the Theory of Numbers（數論導論）

引用

Hardy, G. H., & Wright, E. M. (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.; D. R. Heath-Brown & J. H. Silverman, Eds.). Oxford University Press.

章節概要

第六版共25章，另有附錄、書目和索引，以及安德魯·懷爾斯所作的序言和早期各版的序言。哈代和賴特在1938年的序言中說，這本書不是系統的專著，而是對數論多個側面的一系列介紹，內容豐富多樣但深度有限，圍繞作者自己覺得有趣的題材展開。第1–24章是賴特為第五版（1979）修訂過的作者原文；第25章講橢圓曲線，是第六版新增的。1938年的序言說，前十八章除學校裡通常教的內容外不假定任何知識，後六章要求多一點，但不超出簡單的大學課程；每章之後附有註記。

第1–2章：素數序列（1）；素數序列（2）

三章討論素數的前兩章。第三章即第22章，在書中靠後很多的位置。

第3–4章：法裡數列與閔可夫斯基的一個定理；無理數

第3章介紹法裡數列以及閔可夫斯基的一個基本定理；第4章轉向無理數。

第5–8章：同餘與剩餘；費馬定理及其推論；同餘的一般性質；合數模的同餘

四章講同餘。一位評論者指出，諸如原根存在性這樣的結果，有時在被證明之前很久就已使用。

第9–11章：數的小數表示；連分數；用有理數逼近無理數

這幾章涵蓋小數表示、連分數以及用有理數逼近無理數。莫德爾1939年的書評把小數和連分數與超越數一起歸在「無理數」的名目下。

第12–15章：k(1)、k(i)與k(ρ)中的算術基本定理；若干丟番圖方程；二次域（1）；二次域（2）

這一組把因子分解推廣到簡單的算術域，並將其應用於丟番圖方程，然後用兩章講二次域。

第16–18章：算術函式φ(n)、μ(n)、d(n)、σ(n)、r(n)；算術函式的生成函式；算術函式的數量級

這幾章涵蓋常見的算術函式、它們的生成函式（狄利克雷級數和冪級數）以及數量級。

第19–21章：分拆；一個數表為兩個或四個平方數；表為立方及更高次冪

分拆，以及把數表示為平方、立方和更高次冪之和。莫德爾指出，四元數出現在第20章中部。

第22–24章：素數序列（3）；克羅內克定理；數的幾何

第22章回到素數；正如布羅德本特所指出的，從第三版起它包含了塞爾伯格對素數定理的初等證明。第23章講克羅內克定理，第24章講數的幾何，這是作者原著的最後一章。

第25章：橢圓曲線

約瑟夫·H·西爾弗曼新寫的一章；編者說它與原有的丟番圖方程一章自然相連，講的是已成為數論核心的課題；牛津大學出版社的介紹把它與模橢圓曲線以及費馬大定理的證明聯繫起來。

核心概念

第1–15章：素數、同餘、無理數與域

• 素數：第1、2、22章，共三章。
• 法裡數列與閔可夫斯基定理：第3章。
• 同餘：第5–8章。
• 連分數與無理數的逼近：第10–11章。
• 二次域與簡單域中的唯一分解：第12章與第14–15章。

第16–25章：算術函式、加性問題與幾何

• 算術函式與生成函式：第16–18章。
• 分拆：第19章。
• 平方和與高次冪之和：第20–21章。
• 數的幾何：第24章。
• 橢圓曲線：第25章。

評析

優點

• 在易讀的層次上涵蓋廣泛的題材。 伯克霍夫在1939年的書評中說，討論所預設的技術知識是初等的，但洞察力和徹底性是專業水平的。作者自己的序言說，前十八章對聰明的大學生來說相對容易。
• 跟隨學科發展的註記。 莫德爾稱各章末的註記特別有價值，既有歷史意義，又能把主題置於恰當的視野；第五版的註記由賴特修訂，第六版則在專家協助下加以擴充，使之通向當前的研究。
• 易讀而有個性的文風。 莫德爾形容這是一本清新、迷人的書，文風愉快易讀，可以從頭讀到尾，也可以隨手翻閱。伊恩·安德森在《數學公報》評論第六版時稱它非常易讀、清晰。
• 謹慎的第六版。 安德森說明，編者保持第五版正文不變，另加腳註、懷爾斯的序言、橢圓曲線一章，以及以前各版所缺的總索引。

侷限

• 不是系統的課程。 作者說本書沒有很明確的計劃，並略去了二次型理論。莫德爾補充說，各個題目的安排不太講究次序，有些結果在證明之前很久就被使用，有些證明是針對具體情形的。
• 深度不一。 序言說內容豐富多樣但深度很少，因此想完整了解某一領域的讀者需要專門的書。
• 更新都在註記裡。 由於正文保持1979年的樣子，近年的進展出現在腳註和各章末的註記中，而不在正文的論證裡。

在課程中的定位

在一份其餘多為按課程編寫的書單裡，這是經典的參考型著作。作為入門課程，Joseph Silverman 的《A Friendly Introduction to Number Theory》、David Burton 的《Elementary Number Theory》以及 Kraft 與 Washington 的教材（含密碼學應用）都是循序漸進、附有習題的教學用書，Robin Wilson 的《Number Theory: A Very Short Introduction》則提供快速概覽。哈代與賴特適合在這樣的課程之後讀，或與之同時讀，作為證明和歷史評註的來源。Ireland 與 Rosen 的《A Classical Introduction to Modern Number Theory》更深入代數與算術幾何一側，而哈代與賴特要到最後的橢圓曲線才觸及這一側；二者互相補充。

如何使用本書

正如牛津大學出版社所說，本書適合從一年級起的數學專業學生，他們想要一份豐富的經典題材選集，它也可作為數論學者的參考書。作者的序言說，前十八章除學校數學外不需要別的知識。

• 閱讀課程的核心： 第1–3章、第5–11章和第16–18章（素數、法裡數列、同餘、無理數、連分數、算術函式）。
• 選讀的擴充套件： 第12–15章（二次域）、第19–21章（分拆與冪和）、第23–24章（克羅內克定理與數的幾何）以及第25章（橢圓曲線）。
• 讀註記： 讀完每章後再讀該章的註記，裡面有參考文獻和後來的進展；想要習題和分級練習，可把本書與上面的課程式教材配合使用。