Matrix Analysis（矩陣分析）

引用

Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.

章節概要

第二版共有九個編號章節（第0至8章）和六個附錄，其後是參考文獻、記號表、習題提示和索引。第一版前言把目標說成是對廣泛的主題作一個有用的現代處理，既可作本科或研究生教材，也可作自成體系的參考書。第0章是沒有習題的參考性概述。第1至3章是線性代數第二門課的核心內容，其餘各章各自相對獨立地講一個主要專題。

第0章：Review and Miscellanea（複習與雜錄）

對概念與事實的概述，供需要時查閱：向量空間、矩陣、行列式（兩次）、秩、非奇異性、Euclid 內積與範數、分塊矩陣、特殊型別的矩陣、基變換與等價關係。第二版把它擴充了約75%。本章沒有習題，課程和自學通常從第1章開始。

第1章：Eigenvalues, Eigenvectors, and Similarity（特徵值、特徵向量與相似）

特徵值—特徵向量方程、特徵多項式與代數重數、相似，以及左右特徵向量與幾何重數。新版強調左特徵向量的作用。

第2章：Unitary Similarity and Unitary Equivalence（酉相似與酉等價）

酉矩陣與 QR 分解、酉相似、酉與實正交三角化、Schur 三角化定理的推論、正規矩陣、帶有奇異值分解的酉等價，以及 CS 分解。奇異值分解在此引入，以便貫穿全書使用。

第3章：Canonical Forms for Similarity and Triangular Factorizations（相似的標準形與三角分解）

Jordan 標準形定理及其推論、最小多項式與伴隨矩陣、實 Jordan 標準形與 Weyr 標準形，以及三角分解。前言說，Jordan 形是透過 Weyr 特徵來引入的。

第4章：Hermitian Matrices, Symmetric Matrices, and Congruences（Hermitian 矩陣、對稱矩陣與合同）

Hermitian 矩陣的性質與刻畫、透過子空間交的變分刻畫、特徵值不等式、酉合同與復對稱矩陣、合同與對角化，以及相似共軛（consimilarity）與共對角化。

第5章：Norms for Vectors and Matrices（向量與矩陣的範數）

範數與內積的定義和例子、它們的代數與分析性質、對偶與幾何性質、矩陣範數、矩陣上的向量範數，以及求逆與線性方程組的條件數。

第6章：Location and Perturbation of Eigenvalues（特徵值的位置與擾動）

Geršgorin 圓盤及其更細緻的討論、特徵值擾動定理和其他特徵值包含集。

第7章：Positive Definite and Semidefinite Matrices（正定與半正定矩陣）

定義、刻畫、極分解與奇異值分解及其推論、Schur 乘積定理、同時對角化與凸性、Loewner 偏序與分塊矩陣，以及關於正定矩陣的不等式。

第8章：Positive and Nonnegative Matrices（正矩陣與非負矩陣）

不等式與一般性質、正矩陣、非負矩陣、不可約與素矩陣、一個一般的極限定理，以及隨機矩陣與雙隨機矩陣。這就是 Perron–Frobenius 理論。

附錄 A–F

複數；凸集與凸函式；代數基本定理；多項式零點與矩陣特徵值的連續性；連續性、緊性與 Weierstrass 定理；以及標準對（canonical pairs），即一對 Hermitian 矩陣或一對對稱—反對稱矩陣的標準形表。

核心概念

第1–3章：相似與標準形

• Schur 三角化：每個複方陣都酉相似於上三角矩陣，第2章由此展開許多推論。
• Jordan 與 Weyr 標準形：相似的標準形，第二版將其用作統一的主題。
• 奇異值分解：在第2.6節引入、貫穿全書使用的分解。

第4–6章：Hermitian 矩陣、範數、特徵值位置

• 變分刻畫：藉助子空間的交，把 Hermitian 矩陣的特徵值描述為極值。
• 矩陣範數：矩陣上的範數，結果中以次可乘性公理作出區分。
• Geršgorin 圓盤：複平面中包含矩陣特徵值的區域。

第7–8章：正矩陣與非負矩陣

• Loewner 偏序：按差是否半正定來給 Hermitian 矩陣排序。
• Schur 乘積定理：半正定矩陣的 Hadamard 乘積仍是半正定的。
• Perron–Frobenius 理論：正矩陣、非負矩陣、素矩陣與不可約矩陣的譜性質。

評析

優點

• 以標準形為組織思想。 出版社與第二版前言都把標準形說成貫穿相似、酉等價、合同及其他等價關係的統一主題。
• 龐大的習題集。 第二版有1100多道習題，第一版約690道；許多習題在附錄中有提示，並有貫穿各章的習題線索，發展伴隨矩陣與複合矩陣、有限維量子系統、Loewner 橢球等專題。
• 既供學習又供查閱。 索引條目從約1200條增加到3500多條，作者說，遇到不熟悉的術語應到索引中查詢，那裡很可能指向其定義。
• 模組化設計。 第一版前言說，第1至3章之後，每章各自相對獨立地講一個主要專題，讀者可以按興趣切入。

侷限

• 專題廣泛但並不窮盡。 第一版前言說，值域（field of values）、慣性、M 矩陣、矩陣方程以及 Kronecker 積與 Hadamard 積見於姊妹卷 Topics in Matrix Analysis。
• 並非入門教材。 前言假定讀者學過一學期的初等線性代數並具備初步的分析知識；第1至3章被描述為第二門課的核心。
• 需要作出取捨。 作者說，本書透過選取章節可支撐一學期或兩學期的課程，並建議針對具體課程審慎地預選章節，所以並不打算在一門課裡從頭讀到尾。

在課程中的定位

這是本課程中矩陣理論的高階參考書。Hefferon 的免費教材、Strang 的 Introduction to Linear Algebra 和 Anton 的 Elementary Linear Algebra 是提供作者所假定的一學期背景的入門課。Axler 的 Linear Algebra Done Right 以證明為主講述向量空間與運算元，Anthony 等人的 Linear Algebra: Concepts and Methods 發展核心理論與方法；二者都適合作為讀 Horn 與 Johnson 之前的直接一步。

Horn 與 Johnson 超出它們之處，在於以研究所需的精確度涵蓋 Schur 三角化、Jordan 形、奇異值、矩陣範數和 Perron–Frobenius 理論。對統計、數值計算、控制或應用分析方面的讀者，這是修完課程後值得留在手邊的一本書。

如何使用本書

本書適合學過線性代數第一門課、熟悉證明和基礎分析的學生，也適合需要參考書的研究人員。

• 核心： 第1至3章，需要時查閱第0章。它們相當於線性代數第二門課，作者建議納入第2、3章的大部分內容。
• 接著： 如作者所建議，讀第4章中關於 Hermitian 矩陣的事實和第5章中關於範數的事實。
• 按興趣： 第6章講特徵值定位，第7章講正定矩陣與不等式，第8章講 Perron–Frobenius 理論。附錄 A 至 E 支撐證明；附錄 F 是專門的表。

按線索做習題，試過之後再看提示，並用索引查詢定義。