線性代數：概念和方法

引用

Anthony, M., & Harvey, M. (2012). Linear Algebra: Concepts and Methods. Cambridge University Press.

章節概要

本書是面向大學一年級的線性代數教材，讀者物件不限專業，後半部分補充了一些稍深的內容。各章結構一致：正文中穿插簡短的「練習活動」（activities），請讀者停下來檢驗自己的理解；章末依次是學習目標、對練習活動的評註、附解答的習題和不附解答的拓展問題。第1章之前有一章簡短的複習。

預備知識：開始之前

簡要複習集合與集合記號、數、數學術語、基礎代數、三角和一點邏輯。作者預計大部分內容讀者已經熟悉，對不熟悉的部分建議查閱基礎數學書。

第1章：矩陣與向量

先講矩陣：加法、數乘、乘法、矩陣代數、逆矩陣、冪、轉置與對稱矩陣。隨後轉向Rⁿ中的向量，其中有一節專門培養幾何直覺，並討論直線、R³中的平面以及Rⁿ中的直線和超平面。

第2章：線性方程組

用初等行變換和高斯消元法求解線性方程組。章末討論齊次方程組與零空間。

第3章：矩陣求逆與行列式

先用行變換求逆矩陣，後用代數餘子式求逆矩陣，其間介紹行列式及其性質。最後一節把這些工具用於列昂惕夫投入產出分析。

第4章：秩、值域與線性方程

把矩陣的秩與線性方程組的可解性聯絡起來，並引入值域。

第5章：向量空間

在矩陣與Rⁿ的討論鋪墊之後，抽象框架在這裡出現：向量空間、子空間和線性生成空間。

第6章：線性無關、基與維數

討論線性無關、基、座標和維數，最後一節討論Rⁿ中的基與維數。

第7章：線性變換與基變換

講線性變換、其值域與零空間、座標變換，以及基變換與相似，把抽象理論重新聯絡到矩陣上。

第8章：對角化

從特徵值與特徵向量出發，進而討論方陣的對角化，以及何時可以對角化。

第9章：對角化的應用

把對角化用於矩陣的冪、差分方程組和線性微分方程組。

第10章：內積與正交性

內積、正交性、正交矩陣和格拉姆–施密特正交化過程。

第11章：正交對角化及其應用

對稱矩陣的正交對角化，隨後是篇幅較長的二次型一節。

第12章：直和與投影

兩個子空間的直和、正交補、投影與正交投影、向矩陣值域的投影、到子空間距離的最小化，以及用最小二乘法對資料擬合函式。

第13章：復矩陣與復向量空間

複數、復向量空間與復矩陣、復內積空間、埃爾米特共軛、酉對角化與正規矩陣，以及譜分解。

核心概念

第1–4章：矩陣、方程與秩

• 高斯消元法：用初等行變換化簡方程組，從而讀出解。
• 零空間與值域：Ax = 0 的解集，以及所有向量 Ax 構成的集合；二者共同說明方程組是否有解、有多少解。
• 行列式與代數餘子式：與方陣對應的一個數，用來判斷可逆性並計算逆矩陣。

第5–7章：向量空間與線性對映

• 基與維數：線性無關的生成集稱為基，其元素個數就是空間的維數。
• 基變換與相似：換一組基時，線性變換的動差陣如何變化。

第8–9章：特徵值與對角化

• 特徵值與特徵向量：矩陣作用後方向不變的向量，及其伸縮倍數。
• 對角化：在特徵向量組成的基下把矩陣寫成對角矩陣，使矩陣的冪以及線性差分、微分方程組便於處理。

第10–13章：正交性與復空間

• 格拉姆–施密特過程：把一組基變成標準正交基。
• 二次型：關於變數的二次表示式，其結構可藉助正交對角化看清。
• 正交投影與最小二乘：求子空間中最接近的向量，用於對資料擬合函式。
• 譜分解：用特徵值和特徵向量表示正規矩陣。

評析

優點

• 明確以理解為先。 前言說，目標是讓學生不僅會做線性代數，而且理解它，知道方法為什麼有效。章節結構落實了這一點：閱讀中的提問、學習目標，以及對各章要點的回顧。zbMATH 的評論者彼得·P·扎布雷科（Peter P. Zabreĭko）稱這本書清晰、適合初學者，內容平衡。
• 內建自學支援。 每章之後有對練習活動的評註，習題有完整解答而不僅是答案，位於書末（約80頁）。前言建議先認真嘗試再看解答。出版社也稱本書既適合作課程教材，也適合自學。
• 幅度足以覆蓋第二門課。 除一年級的標準內容外，書中還有二次型、最小二乘擬合、酉對角化和譜分解。前言指出，有些內容比一般一年級課程更深。
• 為非數學專業讀者而寫。 作者在倫敦政治經濟學院任教，書的部分內容取自面向經濟學、管理學、金融和社會科學遠端教育課程的自學材料。

局限

• 先矩陣，後抽象。 抽象的向量空間到第5章才出現，之前有約150頁的動差陣與Rⁿ內容。希望從一開始就圍繞向量空間與線性對映組織全書的讀者，會覺得另一本書更合適。
• 重概念與方法的平衡，而非以證明為先。 前言把文風描述為開放、有時帶對話口吻，只加了「一點點抽象」。要進入以證明為主的代數課程的學生，可能需要一次更抽象的複習。
• 目錄之外的主題。 目錄中沒有奇異值分解、若爾當標準形或數值方法，因此本書不能用來學這些內容。
• 無解答的拓展問題。 章末的拓展問題書中沒有解答；據前言，教師可從本書網頁獲得。
• 應用範圍。 目錄中出現的應用是列昂惕夫投入產出分析、差分方程與微分方程、二次型和最小二乘，而非廣泛的各個領域。

在課程中的定位

這是一門完整的入門課程，重解釋多於求快。吉爾伯特·斯特朗的 Introduction to Linear Algebra 圍繞矩陣與四個基本子空間展開，介紹資料與計算方面的應用，並以安東尼和哈維未涉及的奇異值分解收尾。吉姆·赫弗倫的 Linear Algebra 是一本免費的入門教材，既證明結論，又循序培養數學成熟度，並附有詳細解答。霍華德·安頓的 Elementary Linear Algebra 是另一本帶應用的大學部一年級教材。其中，就讀者物件而言，安東尼和哈維最接近赫弗倫；就先講矩陣、後講抽象空間的處理而言，最接近斯特朗。

謝爾登·阿克斯勒的 Linear Algebra Done Right 以證明為主，從向量空間與線性映射出發並推遲行列式，適合在熟悉本書內容之後作為第二遍閱讀。霍恩與約翰遜的 Matrix Analysis 是矩陣理論的研究生參考書，比本書深得多，本書可作為它的準備。

如何使用本書

本書適合數學專業的一年級學生、使用線性代數的專業（經濟學、管理學、金融、社會科學和自然科學）的學生，以及自學者。它假定讀者有中學代數和三角基礎，其他所需內容由預備知識一章補足。

一學期的入門課程可依次讀第1至8章，再讀第10章，其中3.5節（列昂惕夫分析）和第9章可作為選讀的應用。下一學期可以學第9章和第11至13章。第12章的最小二乘一節適合與第10章配合，第13章最好等實數範圍內的理論紮實後再讀。

讀時請備好紙筆：每個練習活動在出現時就做，與章末評註對照，再把學習目標當作檢查清單。先做習題再看書末解答，把拓展問題當作考試練習。如果第5至7章的抽象內容顯得突然，就回到第1至4章的動差陣例子，並同時參考阿克斯勒或赫弗倫這類重視證明的書。