01 / 导读
导读
引用
Horn, R. A., & Johnson, C. R. (2013). Matrix Analysis (2nd ed.). Cambridge University Press.
章节概要
第二版共有九个编号章节（第0至8章）和六个附录，其后是参考文献、记号表、习题提示和索引。第一版前言把目标说成是对广泛的主题作一个有用的现代处理，既可作本科或研究生教材，也可作自成体系的参考书。第0章是没有习题的参考性概述。第1至3章是线性代数第二门课的核心内容，其余各章各自相对独立地讲一个主要专题。
第0章：Review and Miscellanea（复习与杂录）
对概念与事实的概述，供需要时查阅：向量空间、矩阵、行列式（两次）、秩、非奇异性、Euclid 内积与范数、分块矩阵、特殊类型的矩阵、基变换与等价关系。第二版把它扩充了约75%。本章没有习题，课程和自学通常从第1章开始。
第1章：Eigenvalues, Eigenvectors, and Similarity（特征值、特征向量与相似）
特征值—特征向量方程、特征多项式与代数重数、相似，以及左右特征向量与几何重数。新版强调左特征向量的作用。
第2章：Unitary Similarity and Unitary Equivalence（酉相似与酉等价）
酉矩阵与 QR 分解、酉相似、酉与实正交三角化、Schur 三角化定理的推论、正规矩阵、带有奇异值分解的酉等价，以及 CS 分解。奇异值分解在此引入，以便贯穿全书使用。
第3章：Canonical Forms for Similarity and Triangular Factorizations（相似的标准形与三角分解）
Jordan 标准形定理及其推论、最小多项式与伴随矩阵、实 Jordan 标准形与 Weyr 标准形，以及三角分解。前言说，Jordan 形是通过 Weyr 特征来引入的。
第4章：Hermitian Matrices, Symmetric Matrices, and Congruences（Hermitian 矩阵、对称矩阵与合同）
Hermitian 矩阵的性质与刻画、通过子空间交的变分刻画、特征值不等式、酉合同与复对称矩阵、合同与对角化，以及相似共轭（consimilarity）与共对角化。
第5章：Norms for Vectors and Matrices（向量与矩阵的范数）
范数与内积的定义和例子、它们的代数与分析性质、对偶与几何性质、矩阵范数、矩阵上的向量范数，以及求逆与线性方程组的条件数。
第6章：Location and Perturbation of Eigenvalues（特征值的位置与扰动）
Geršgorin 圆盘及其更细致的讨论、特征值扰动定理和其他特征值包含集。
第7章：Positive Definite and Semidefinite Matrices（正定与半正定矩阵）
定义、刻画、极分解与奇异值分解及其推论、Schur 乘积定理、同时对角化与凸性、Loewner 偏序与分块矩阵，以及关于正定矩阵的不等式。
第8章：Positive and Nonnegative Matrices（正矩阵与非负矩阵）
不等式与一般性质、正矩阵、非负矩阵、不可约与素矩阵、一个一般的极限定理，以及随机矩阵与双随机矩阵。这就是 Perron–Frobenius 理论。
附录 A–F
复数；凸集与凸函数；代数基本定理；多项式零点与矩阵特征值的连续性；连续性、紧性与 Weierstrass 定理；以及标准对（canonical pairs），即一对 Hermitian 矩阵或一对对称—反对称矩阵的标准形表。
核心概念
第1–3章：相似与标准形
- Schur 三角化：每个复方阵都酉相似于上三角矩阵，第2章由此展开许多推论。
- Jordan 与 Weyr 标准形：相似的标准形，第二版将其用作统一的主题。
- 奇异值分解：在第2.6节引入、贯穿全书使用的分解。
第4–6章：Hermitian 矩阵、范数、特征值位置
- 变分刻画：借助子空间的交，把 Hermitian 矩阵的特征值描述为极值。
- 矩阵范数：矩阵上的范数，结果中以次可乘性公理作出区分。
- Geršgorin 圆盘：复平面中包含矩阵特征值的区域。
第7–8章：正矩阵与非负矩阵
- Loewner 偏序：按差是否半正定来给 Hermitian 矩阵排序。
- Schur 乘积定理：半正定矩阵的 Hadamard 乘积仍是半正定的。
- Perron–Frobenius 理论：正矩阵、非负矩阵、素矩阵与不可约矩阵的谱性质。
评析
优点
- 以标准形为组织思想。 出版社与第二版前言都把标准形说成贯穿相似、酉等价、合同及其他等价关系的统一主题。
- 庞大的习题集。 第二版有1100多道习题，第一版约690道；许多习题在附录中有提示，并有贯穿各章的习题线索，发展伴随矩阵与复合矩阵、有限维量子系统、Loewner 椭球等专题。
- 既供学习又供查阅。 索引条目从约1200条增加到3500多条，作者说，遇到不熟悉的术语应到索引中查找，那里很可能指向其定义。
- 模块化设计。 第一版前言说，第1至3章之后，每章各自相对独立地讲一个主要专题，读者可以按兴趣切入。
局限
- 专题广泛但并不穷尽。 第一版前言说，值域（field of values）、惯性、M 矩阵、矩阵方程以及 Kronecker 积与 Hadamard 积见于姊妹卷 Topics in Matrix Analysis。
- 并非入门教材。 前言假定读者学过一学期的初等线性代数并具备初步的分析知识；第1至3章被描述为第二门课的核心。
- 需要作出取舍。 作者说，本书通过选取章节可支撑一学期或两学期的课程，并建议针对具体课程审慎地预选章节，所以并不打算在一门课里从头读到尾。
在课程中的定位
这是本课程中矩阵理论的高阶参考书。Hefferon 的免费教材、Strang 的 Introduction to Linear Algebra 和 Anton 的 Elementary Linear Algebra 是提供作者所假定的一学期背景的入门课。Axler 的 Linear Algebra Done Right 以证明为主讲述向量空间与算子，Anthony 等人的 Linear Algebra: Concepts and Methods 发展核心理论与方法；二者都适合作为读 Horn 与 Johnson 之前的直接一步。
Horn 与 Johnson 超出它们之处，在于以研究所需的精确度涵盖 Schur 三角化、Jordan 形、奇异值、矩阵范数和 Perron–Frobenius 理论。对统计、数值计算、控制或应用分析方面的读者，这是修完课程后值得留在手边的一本书。
如何使用本书
本书适合学过线性代数第一门课、熟悉证明和基础分析的学生，也适合需要参考书的研究人员。
- 核心： 第1至3章，需要时查阅第0章。它们相当于线性代数第二门课，作者建议纳入第2、3章的大部分内容。
- 接着： 如作者所建议，读第4章中关于 Hermitian 矩阵的事实和第5章中关于范数的事实。
- 按兴趣： 第6章讲特征值定位，第7章讲正定矩阵与不等式，第8章讲 Perron–Frobenius 理论。附录 A 至 E 支撑证明；附录 F 是专门的表。
按线索做习题，试过之后再看提示，并用索引查找定义。