01 / 導讀
導讀
引用
Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
章節概要
第六版（版權年份2022年，2023年出版）共十章，另有十個簡短附錄，以及公式索引與記號索引。前言把本書定位為麻省理工學院18.06課程的教科書，介紹與之搭配的 MIT OpenCourseWare 影音課程，並說明相較於先前版本的主要改變：課程不再從聯立方程組開始，而是從矩陣的行向量（column）、線性獨立與行空間開始，並在第1章引入分解 A = CR。貫穿全書的兩條主軸是四個基本子空間，以及矩陣的五種分解（A = CR、LU、QR、S = QΛQᵀ 與奇異值分解 A = UΣVᵀ）。前言說，前七章「足以填滿大多數線性代數課程而有餘」，之後則是通往最佳化與深度學習的選讀章節。本書網站上的範例各節以方框列出該節重點開頭，以習題集作結；有些小節另有「Review of the Key Ideas」、例題與挑戰題。
第1章：向量與矩陣
向量與線性組合、由內積得到的長度與夾角、矩陣及其行空間，以及矩陣乘法 AB 與 CR。前言開頭的例子逐行建構一個3×4矩陣，說明獨立行與相依行，以及 C 與 R 如何記錄它們。
第2章：解線性方程組 Ax = b
消去與回代、消去矩陣與反矩陣、矩陣計算與 A = LU、排列與轉置，最後一節談導數與差分矩陣，把矩陣與微積分連結起來。
第3章：四個基本子空間
向量空間與子空間、藉由 A = CR 以消去法計算零空間、Ax = b 的完整解、線性獨立、基底與維度，以及四個子空間的維度。範例第3.5節證明列空間與行空間的維度都等於秩 r，並以圖的關聯矩陣與克希荷夫電流定律說明左零空間。
第4章：正交性
向量與子空間的正交、投影到直線與子空間、最小平方近似、正規正交基底與格拉姆－施密特法（A = QR），以及矩陣的虛擬反矩陣。
第5章：行列式
簡短的一章：3×3行列式與餘因子、行列式的計算與應用，以及以行列式求面積與體積。
第6章：特徵值與特徵向量
Ax = λx 入門、矩陣對角化、對稱正定矩陣、複數與複向量和複矩陣，以及線性微分方程的解法。
第7章：奇異值分解（SVD）
奇異值與奇異向量、以線性代數處理影像，以及用 SVD 做主成分分析。前言鼓勵在第6章學過特徵值的讀者繼續讀到第7.1節，並指出 SVD 為四個子空間都提供特殊的基底，從而完成線性代數基本定理。
第8章：線性變換
線性變換的概念、線性變換的矩陣，以及尋找好的基底。
第9章：最佳化中的線性代數
本版新增：多變數函數的最小化、反向傳播與隨機梯度下降、限制條件、拉格朗日乘數與最小範數，以及線性規劃、賽局理論與對偶性。前言把這裡稱為「線性代數與微積分相遇之處」。
第10章：從資料中學習
同為新增：分段線性的學習函數、建構與實驗，以及平均數、變異數與共變異數。
附錄
十個簡短附錄：AB 與 A + B 的秩、矩陣分解總覽、基本分解中參數的計數、數值線性代數的程式碼與演算法、喬丹標準型、張量、條件數、馬可夫矩陣與裴隆－佛羅貝尼烏斯定理、消去與分解，以及電腦圖學。
核心概念
第1–3章：行、消去與子空間
- 行空間：A 的各行的所有線性組合。
- A = CR：把矩陣寫成由獨立行組成的 C，乘上把它們組合成每一行的矩陣 R。
- 消去與 A = LU：以列運算解 Ax = b，並記錄為下三角矩陣乘上三角矩陣。
- 四個基本子空間：行空間、列空間、零空間與左零空間，維度分別為 r、r、n − r 與 m − r。
- 秩：獨立行的個數，等於獨立列的個數。
第4–6章：正交性、行列式與特徵值
- 投影與最小平方：當 Ax = b 無解時，把 b 投影到行空間上，求出最接近的解。
- 格拉姆－施密特與 A = QR：建構正規正交的行。
- 特徵值與對角化：A 只會伸縮的向量；當這樣的向量足夠時，A = XΛX⁻¹。
- 對稱矩陣與 S = QΛQᵀ：實數特徵值與正規正交特徵向量；正定矩陣。
第7–10章：SVD、變換與資料
- 奇異值分解：對所有矩陣成立的 A = UΣVᵀ，具有正規正交的奇異向量與正的奇異值。
- 主成分分析：由 SVD 找出資料變異的主要方向。
- 線性變換與基底變換：變換的矩陣取決於所選的基底；好的基底能讓它變簡單。
- 梯度下降與反向傳播：訓練學習函數背後的最佳化方法。
評析
優點
- 清楚的整體圖像。 四個子空間與五種分解在各章反覆出現，學生隨時知道新概念的位置；這些分解也印在封面上。
- 一開始就談行與線性獨立。 在第1章引入行空間與 A = CR，讓學生在熟悉消去的操作之前，先接觸秩與線性獨立這些核心觀念，這正是前言所強調的改變。
- 內建應用。 關於差分、圖與克希荷夫定律、最小平方、影像處理、主成分分析、微分方程、最佳化與從資料中學習的各節，把理論與工程及資料科學連結起來。
- 出色的免費支援。 本書與 OpenCourseWare 上的 MIT 18.06 影音課程搭配；官方網站提供範例章節、第1–8章習題的部分解答、MIT 歷屆考題、勘誤表，以及從第五版移到網路上的章節。
局限
- 不以證明為中心。 風格以說明與計算為主，形式證明與抽象向量空間的份量比「理論先行」的課程小。
- 部分內容移到網路。 前言指出，傅立葉級數、範數與條件數、疊代法與密碼學已從紙本移到網站；艾倫・史坦格在 MAA Reviews 的評介（2023年4月）也指出，第五版的許多例題與挑戰題已被刪除。
- 行列式內容壓縮。 第5章只有三節，重視行列式理論的課程需要補充教材。
- 說明口語化。 史特朗以第一人稱、聊天般的口吻寫作（「關鍵就在這裡！」）；重點雖以方框標示，但準備考試的學生不妨自行整理一份定義與定理清單。
在課程中的定位
在本課程中，史特朗是一本重應用、以矩陣為中心的入門教科書。吉姆・赫弗倫的免費教科書《Linear Algebra》同樣適合第一門課，但更強調證明，習題附有完整解答，適合想培養數學成熟度的學生；霍華德・安東的《Elementary Linear Algebra》是另一本標準的入門教科書。兩者都可與史特朗並用，從不同角度說明相同的主題。
讀完史特朗之後，謝爾頓・艾克斯勒的《Linear Algebra Done Right》延後處理行列式，透過向量空間與線性映射並搭配證明來發展這門學科，是數學系學生自然的第二門課。馬丁・安東尼與 M. 哈維的《Linear Algebra: Concepts and Methods》提供含應用的嚴謹論述，霍恩與強森的《Matrix Analysis》則是研究所程度的矩陣理論參考書，適合從史特朗第6–7章繼續深入的讀者。
如何使用本書
主要的先備知識是中學代數；第2.5節、第6.5節與第9章需要一些微積分。
- 一學期課程： 依序學習第1–7章。第1章與第3章承載行空間與四個子空間這些核心觀念；第3.5節以及談投影與最小平方的第4章不可或缺；第5章可以快速帶過。
- 不要停在第6章： 前言要求讀者繼續讀到談 SVD 的第7.1節，它把整門課串連起來。
- 選讀章節： 想要更抽象的觀點可讀第8章，對最佳化、機器學習與統計有興趣的學生可讀第9–10章。
- 善用影音課程： 在每節之前或之後觀看對應的18.06課程；網站上的部分解答與 MIT 歷屆考題可提供有回饋的練習。
- 做習題集： 從例題開始，等基本題變得容易後再挑戰挑戰題。
使用第五版的學生應注意，各節已重新編排，部分內容也移到網路上。