初等線性代數

引用

Anton, H., & Kaul, A. (2019). Elementary Linear Algebra (12th ed.). John Wiley & Sons.

章節概要

第1章：Systems of Linear Equations and Matrices

這是最長的一章，從線性方程組和高斯消去法出發，隨後講矩陣運算、逆矩陣及其代數性質、基本矩陣、對角矩陣、三角矩陣和對稱矩陣，以及線性變換及其複合的入門。章末是兩個應用小節：線性方程組的應用（網路分析、電路、配平化學方程式、多項式插值）以及里昂提夫投入產出模型。

第2章：Determinants

行列式先透過餘因子展開引入，再透過列簡約來計算，其性質與克拉默法則一同展開。這一章只有三節。

第3章：Euclidean Vector Spaces

本章從二維、三維和 n 維空間中的向量，講到 R^n 中的範數、點積和距離，正交性，線性方程組的幾何，以及叉積。

第4章：General Vector Spaces

把第3章的思想推廣到抽象的實向量空間：子空間、生成集、線性獨立、座標與基、維數以及基變換。章末講列空間、行空間與零空間，以及秩、零度和矩陣的基本子空間。

第5章：Eigenvalues and Eigenvectors

特徵值與特徵向量、對角化和復向量空間之後，是兩個應用：微分方程，以及動力系統與馬可夫鏈。

第6章：Inner Product Spaces

本章討論內積、內積空間中的角度與正交性、格拉姆—施密特方法與 QR 分解、最佳逼近與最小平方、用最小平方作數學建模，以及函式逼近與傅立葉級數。

第7章：Diagonalization and Quadratic Forms

正交矩陣和正交對角化引出二次型以及利用二次型的最佳化。最後一節討論厄米特矩陣、么正矩陣和正規矩陣。

第8章：General Linear Transformations

本章處理一般向量空間之間的線性變換，包括複合與逆變換、同構、一般線性變換的矩陣、相似，以及矩陣算子的幾何。

第9章：Numerical Methods

LU 分解和冪法之後，是求解線性方程組的各種方法的比較、奇異值分解，以及利用奇異值分解進行資料壓縮。

補充專題與附錄

目錄列出了線上補充專題（三篇關於線性規劃，另有平面幾何中的向量、剛體平衡、指派問題、行列式函式和里昂提夫經濟模型）。附錄A講如何處理證明，附錄B講複數。書末有習題答案和索引。

核心概念

第1–2章：方程組、矩陣與行列式

• 高斯消去法：系統地化簡線性方程組以求出其解。
• 逆矩陣與基本矩陣：列運算與可逆性之間的聯繫。
• 餘因子展開與克拉默法則：用於小型方程組和判斷可逆性的行列式工具。

第3–4章：向量空間

• 點積、範數與正交性：R^n 的幾何。
• 線性獨立、基與維數：一般向量空間的結構。
• 列空間、行空間與零空間；秩與零度：矩陣的基本子空間。

第5–7章：特徵值、內積空間與對角化

• 特徵值與特徵向量：矩陣只拉伸而不轉向的方向。
• 格拉姆—施密特方法與最小平方：構造正交基和配適資料。
• 正交對角化與二次型：對稱矩陣的對角化及其在最佳化中的應用。

第8–9章：變換與數值方法

• 相似與一般線性變換的矩陣：在不同基下表示同一個變換。
• LU 分解、冪法與奇異值分解：用於計算的矩陣分解及其用途。

評析

優點

• 教學法優先。 威立介紹說，本書是適合本科第一門課的初等處理，目標是以儘可能清晰的方式呈現基本內容。
• 微積分是可選的。 微積分不是先修要求，用到微積分的習題和例子都有明確標註，可以略去而不影響連貫性。
• 習題豐富。 在第1章的樣章中，每一節都以習題組結束，其中有判斷題，多數還包括「Working with Proofs」和「Working with Technology」兩組，因此計算、推理和軟體使用都得到練習。
• 先幾何後抽象。 歐氏空間（第3章）先於一般向量空間（第4章），行列式也安排得較早（第2章）。
• 應用貫穿全書。 第1章以網路分析、電路、化學方程式、多項式插值和里昂提夫模型收尾。後面各章把理論應用於微分方程、馬可夫鏈、最小平方、傅立葉級數、二次型和資料壓縮。
• 對證明的支援。 附錄A「Working with Proofs」幫助學生開始閱讀和書寫證明。

局限

• 抽象來得較晚。 一般線性變換直到特徵值之後的第8章才出現，所以想要圍繞線性對映、從證明入手的處理（如阿克斯勒）的學生會覺得順序不同。
• 數值方法簡略。 第9章有五節，約40頁，足以接觸主要的分解，但不足以支撐一門數值線性代數課程。
• 部分內容線上提供。 補充專題（包括三篇線性規劃）不在印刷版正文中。
• 篇幅。 全書超過500頁，大多數課程不會全部用到。

在課程中的定位

線上性代數書單中，安東是傳統的、側重應用的第一門課。斯特朗的 Introduction to Linear Algebra 圍繞四個基本子空間展開並通向奇異值分解，赫弗朗的 Linear Algebra 是供第一門課使用的免費教材，在證明結論的同時培養數學成熟度。安東的順序（先方程組，再幾何，最後抽象）適合想在接觸公理之前先熟練計算的學生。

若要更偏理論，阿克斯勒的 Linear Algebra Done Right 從向量空間和線性映射出發展開這門學科，並把行列式放到後面；安東尼與哈維的 Linear Algebra: Concepts and Methods 是一本本科教材，與安東一樣，從矩陣和方程組走向向量空間、對角化和正交性。霍恩與約翰遜的 Matrix Analysis 是遠超安東範圍的研究生參考書。

如何使用本書

本書適合數學、理科、工程和經濟學專業的本科一、二年級學生。先修要求是中學代數和幾何；微積分只對標註的習題有用。

第1至4章構成第一門課的核心，接著是第5章（特徵值）和第6章（內積空間）。第7章給出關於對稱矩陣和二次型的結果。第8、9章以及第1章和第5章靠後的小節可以作為選修，取決於課程側重理論（第8章）還是計算與應用（第9章、1.10和1.11節、5.4和5.5節）。

按給出的順序做習題，並且在每組習題裡至少做幾道判斷題和「Working with Proofs」的題：它們是檢驗是否理解了思想的有效辦法。用書末的答案核對自己的解答，用技術類習題熟悉軟體的使用。