线性代数：概念和方法

引用

Anthony, M., & Harvey, M. (2012). Linear Algebra: Concepts and Methods. Cambridge University Press.

章节概要

本书是面向大学一年级的线性代数教材，读者对象不限专业，后半部分补充了一些稍深的内容。各章结构一致：正文中穿插简短的“练习活动”（activities），请读者停下来检验自己的理解；章末依次是学习目标、对练习活动的评注、附解答的习题和不附解答的拓展问题。第1章之前有一章简短的复习。

预备知识：开始之前

简要复习集合与集合记号、数、数学术语、基础代数、三角和一点逻辑。作者预计大部分内容读者已经熟悉，对不熟悉的部分建议查阅基础数学书。

第1章：矩阵与向量

先讲矩阵：加法、数乘、乘法、矩阵代数、逆矩阵、幂、转置与对称矩阵。随后转向Rⁿ中的向量，其中有一节专门培养几何直觉，并讨论直线、R³中的平面以及Rⁿ中的直线和超平面。

第2章：线性方程组

用初等行变换和高斯消元法求解线性方程组。章末讨论齐次方程组与零空间。

第3章：矩阵求逆与行列式

先用行变换求逆矩阵，后用代数余子式求逆矩阵，其间介绍行列式及其性质。最后一节把这些工具用于列昂惕夫投入产出分析。

第4章：秩、值域与线性方程

把矩阵的秩与线性方程组的可解性联系起来，并引入值域。

第5章：向量空间

在矩阵与Rⁿ的讨论铺垫之后，抽象框架在这里出现：向量空间、子空间和线性生成空间。

第6章：线性无关、基与维数

讨论线性无关、基、坐标和维数，最后一节讨论Rⁿ中的基与维数。

第7章：线性变换与基变换

讲线性变换、其值域与零空间、坐标变换，以及基变换与相似，把抽象理论重新联系到矩阵上。

第8章：对角化

从特征值与特征向量出发，进而讨论方阵的对角化，以及何时可以对角化。

第9章：对角化的应用

把对角化用于矩阵的幂、差分方程组和线性微分方程组。

第10章：内积与正交性

内积、正交性、正交矩阵和格拉姆–施密特正交化过程。

第11章：正交对角化及其应用

对称矩阵的正交对角化，随后是篇幅较长的二次型一节。

第12章：直和与投影

两个子空间的直和、正交补、投影与正交投影、向矩阵值域的投影、到子空间距离的最小化，以及用最小二乘法对数据拟合函数。

第13章：复矩阵与复向量空间

复数、复向量空间与复矩阵、复内积空间、埃尔米特共轭、酉对角化与正规矩阵，以及谱分解。

核心概念

第1–4章：矩阵、方程与秩

• 高斯消元法：用初等行变换化简方程组，从而读出解。
• 零空间与值域：Ax = 0 的解集，以及所有向量 Ax 构成的集合；二者共同说明方程组是否有解、有多少解。
• 行列式与代数余子式：与方阵对应的一个数，用来判断可逆性并计算逆矩阵。

第5–7章：向量空间与线性映射

• 基与维数：线性无关的生成集称为基，其元素个数就是空间的维数。
• 基变换与相似：换一组基时，线性变换的矩阵如何变化。

第8–9章：特征值与对角化

• 特征值与特征向量：矩阵作用后方向不变的向量，及其伸缩倍数。
• 对角化：在特征向量组成的基下把矩阵写成对角矩阵，使矩阵的幂以及线性差分、微分方程组便于处理。

第10–13章：正交性与复空间

• 格拉姆–施密特过程：把一组基变成标准正交基。
• 二次型：关于变量的二次表达式，其结构可借助正交对角化看清。
• 正交投影与最小二乘：求子空间中最接近的向量，用于对数据拟合函数。
• 谱分解：用特征值和特征向量表示正规矩阵。

评析

优点

• 明确以理解为先。 前言说，目标是让学生不仅会做线性代数，而且理解它，知道方法为什么有效。章节结构落实了这一点：阅读中的提问、学习目标，以及对各章要点的回顾。zbMATH 的评论者彼得·P·扎布雷科（Peter P. Zabreĭko）称这本书清晰、适合初学者，内容平衡。
• 内置自学支持。 每章之后有对练习活动的评注，习题有完整解答而不仅是答案，位于书末（约80页）。前言建议先认真尝试再看解答。出版社也称本书既适合作课程教材，也适合自学。
• 幅度足以覆盖第二门课。 除一年级的标准内容外，书中还有二次型、最小二乘拟合、酉对角化和谱分解。前言指出，有些内容比一般一年级课程更深。
• 为非数学专业读者而写。 作者在伦敦政治经济学院任教，书的部分内容取自面向经济学、管理学、金融和社会科学远程教育课程的自学材料。

局限

• 先矩阵，后抽象。 抽象的向量空间到第5章才出现，之前有约150页的矩阵与Rⁿ内容。希望从一开始就围绕向量空间与线性映射组织全书的读者，会觉得另一本书更合适。
• 重概念与方法的平衡，而非以证明为先。 前言把文风描述为开放、有时带对话口吻，只加了“一点点抽象”。要进入以证明为主的代数课程的学生，可能需要一次更抽象的复习。
• 目录之外的主题。 目录中没有奇异值分解、若尔当标准形或数值方法，因此本书不能用来学这些内容。
• 无解答的拓展问题。 章末的拓展问题书中没有解答；据前言，教师可从本书网页获得。
• 应用范围。 目录中出现的应用是列昂惕夫投入产出分析、差分方程与微分方程、二次型和最小二乘，而非广泛的各个领域。

在课程中的定位

这是一门完整的入门课程，重解释多于求快。吉尔伯特·斯特朗的 Introduction to Linear Algebra 围绕矩阵与四个基本子空间展开，介绍数据与计算方面的应用，并以安东尼和哈维未涉及的奇异值分解收尾。吉姆·赫弗伦的 Linear Algebra 是一本免费的入门教材，既证明结论，又循序培养数学成熟度，并附有详细解答。霍华德·安顿的 Elementary Linear Algebra 是另一本带应用的本科一年级教材。其中，就读者对象而言，安东尼和哈维最接近赫弗伦；就先讲矩阵、后讲抽象空间的处理而言，最接近斯特朗。

谢尔登·阿克斯勒的 Linear Algebra Done Right 以证明为主，从向量空间与线性映射出发并推迟行列式，适合在熟悉本书内容之后作为第二遍阅读。霍恩与约翰逊的 Matrix Analysis 是矩阵理论的研究生参考书，比本书深得多，本书可作为它的准备。

如何使用本书

本书适合数学专业的一年级学生、使用线性代数的专业（经济学、管理学、金融、社会科学和自然科学）的学生，以及自学者。它假定读者有中学代数和三角基础，其他所需内容由预备知识一章补足。

一学期的入门课程可依次读第1至8章，再读第10章，其中3.5节（列昂惕夫分析）和第9章可作为选读的应用。下一学期可以学第9章和第11至13章。第12章的最小二乘一节适合与第10章配合，第13章最好等实数范围内的理论扎实后再读。

读时请备好纸笔：每个练习活动在出现时就做，与章末评注对照，再把学习目标当作检查清单。先做习题再看书末解答，把拓展问题当作考试练习。如果第5至7章的抽象内容显得突然，就回到第1至4章的矩阵例子，并同时参考阿克斯勒或赫弗伦这类重视证明的书。