01 / 导读
导读
引用
Strang, G. (2023). Introduction to Linear Algebra (6th ed.). Wellesley-Cambridge Press.
章节概要
第六版（版权年份2022年，2023年出版）共十章，另有十个简短附录以及公式索引和记号索引。前言把本书定位为麻省理工学院18.06课程的教材，介绍了与之配套的 MIT OpenCourseWare 视频讲座，并说明了相对于早期版本的主要变化：课程现在不再从方程组开始，而是从矩阵的列、线性无关和列空间开始，并在第1章引入分解 A = CR。贯穿全书的两条主线是四个基本子空间和矩阵的五种分解（A = CR、LU、QR、S = QΛQᵀ 以及奇异值分解 A = UΣVᵀ）。前言说，前七章“足以填满大多数线性代数课程而有余”，之后是通向最优化和深度学习的选学章节。本书网站上的样章各节以方框列出本节要点开头，以习题集结束；有些小节还设有“Review of the Key Ideas”、例题和挑战题。
第1章：向量与矩阵
向量与线性组合、由点积得到的长度与夹角、矩阵及其列空间，以及矩阵乘法 AB 和 CR。前言开头的例子逐列构造一个3×4矩阵，以说明独立列与相关列，以及 C 和 R 如何记录它们。
第2章：解线性方程组 Ax = b
消元与回代、消元矩阵与逆矩阵、矩阵计算与 A = LU、置换与转置，最后一节讨论导数与差分矩阵，把矩阵与微积分联系起来。
第3章：四个基本子空间
向量空间与子空间、借助 A = CR 用消元法计算零空间、Ax = b 的完全解、线性无关、基与维数，以及四个子空间的维数。样章第3.5节证明行空间和列空间的维数都等于秩 r，并用图的关联矩阵和基尔霍夫电流定律来说明左零空间。
第4章：正交性
向量与子空间的正交、向直线和子空间的投影、最小二乘逼近、标准正交基与格拉姆–施密特方法（A = QR），以及矩阵的伪逆。
第5章：行列式
简短的一章：3×3行列式与代数余子式、行列式的计算与应用，以及用行列式求面积和体积。
第6章：特征值与特征向量
Ax = λx 入门、矩阵对角化、对称正定矩阵、复数与复向量和复矩阵，以及线性微分方程的求解。
第7章：奇异值分解（SVD）
奇异值与奇异向量、用线性代数处理图像，以及用 SVD 做主成分分析。前言敦促在第6章学习了特征值的读者继续读到第7.1节，并指出 SVD 为全部四个子空间提供特殊的基，从而完成了线性代数基本定理。
第8章：线性变换
线性变换的概念、线性变换的矩阵，以及寻找好的基。
第9章：最优化中的线性代数
本版新增：多元函数的极小化、反向传播与随机梯度下降、约束、拉格朗日乘数与最小范数，以及线性规划、博弈论与对偶性。前言把这里称为“线性代数与微积分相遇之处”。
第10章：从数据中学习
同为新增：分段线性学习函数、构建与实验，以及均值、方差与协方差。
附录
十个简短附录：AB 与 A + B 的秩、矩阵分解汇总、基本分解中参数的计数、数值线性代数的代码与算法、若尔当标准形、张量、条件数、马尔可夫矩阵与佩龙–弗罗贝尼乌斯定理、消元与分解，以及计算机图形学。
核心概念
第1–3章：列、消元与子空间
- 列空间：A 的各列的全部线性组合。
- A = CR：把矩阵写成由独立列组成的 C 与把它们组合成每一列的矩阵 R 之积。
- 消元与 A = LU：用行变换解 Ax = b，并记录为下三角矩阵乘以上三角矩阵。
- 四个基本子空间：列空间、行空间、零空间和左零空间，维数分别为 r、r、n − r 和 m − r。
- 秩：独立列的个数，等于独立行的个数。
第4–6章：正交性、行列式与特征值
- 投影与最小二乘：当 Ax = b 无解时，把 b 投影到列空间上求最接近的解。
- 格拉姆–施密特与 A = QR：构造标准正交的列。
- 特征值与对角化：A 只作伸缩的向量；当这样的向量足够多时，A = XΛX⁻¹。
- 对称矩阵与 S = QΛQᵀ：实特征值与标准正交特征向量；正定矩阵。
第7–10章：SVD、变换与数据
- 奇异值分解：对任意矩阵成立的 A = UΣVᵀ，含标准正交的奇异向量和正的奇异值。
- 主成分分析：由 SVD 找出数据变化的主要方向。
- 线性变换与基变换：变换的矩阵取决于所选的基；好的基能使其简化。
- 梯度下降与反向传播：训练学习函数背后的最优化方法。
评析
优点
- 清晰的总体图景。 四个子空间和五种分解在各章反复出现，学生始终知道新概念处于什么位置；这些分解还印在封面上。
- 从一开始就讲列与线性无关。 在第1章引入列空间和 A = CR，使学生在掌握消元的操作之前，就先接触秩和线性无关这些核心思想，这正是前言所强调的变化。
- 内置应用。 关于差分、图与基尔霍夫定律、最小二乘、图像处理、主成分分析、微分方程、最优化和从数据中学习的各节，把理论与工程和数据科学联系起来。
- 出色的免费支持。 本书与 OpenCourseWare 上的 MIT 18.06 视频讲座配套；官方网站提供样章、第1–8章习题的部分解答、MIT 历年考试题、勘误表，以及从第五版移到网上的章节。
局限
- 不以证明为中心。 风格以讲解和计算为主，形式证明和抽象向量空间的分量比“理论先行”的课程要小。
- 部分内容移到网上。 前言指出，傅里叶级数、范数与条件数、迭代法和密码学已从印刷版移到网站；艾伦·斯滕格在 MAA Reviews 上的评介（2023年4月）也指出，第五版的许多例题和挑战题被删去。
- 行列式内容压缩。 第5章只有三节，重视行列式理论的课程需要补充材料。
- 讲解口语化。 斯特朗以第一人称、谈话式的口吻写作（“关键就在这里！”）；要点虽以方框标出，但准备考试复习的学生不妨自己整理一份定义和定理清单。
在课程中的定位
在本课程中，斯特朗是一本重应用、以矩阵为中心的入门教材。吉姆·赫弗伦的免费教材《Linear Algebra》同样适合第一门课，但更强调证明，习题附有完整解答，适合希望培养数学成熟度的学生；霍华德·安东的《Elementary Linear Algebra》是另一本标准的入门教材。两者都可以与斯特朗并用，从另一个角度讲解相同的主题。
学完斯特朗之后，谢尔登·阿克斯勒的《Linear Algebra Done Right》推迟行列式，通过向量空间和线性映射并配以证明来展开这门学科，是数学专业学生自然的第二门课程。马丁·安东尼和 M. 哈维的《Linear Algebra: Concepts and Methods》提供带应用的严格论述，霍恩和约翰逊的《Matrix Analysis》则是研究生层次的矩阵理论参考书，适合从斯特朗第6–7章继续深入的读者。
如何使用本书
主要的先修知识是中学代数；第2.5节、第6.5节和第9章需要一些微积分知识。
- 一学期课程： 按顺序学习第1–7章。第1章和第3章承载列空间和四个子空间这些核心思想；第3.5节以及讲投影和最小二乘的第4章必不可少；第5章可以快速带过。
- 不要停在第6章： 前言要求读者继续读到关于 SVD 的第7.1节，它把整门课串联起来。
- 选学章节： 想要更抽象的视角可读第8章，对最优化、机器学习和统计感兴趣的学生可读第9–10章。
- 利用视频讲座： 在每节之前或之后观看对应的18.06讲座；网站上的部分解答和 MIT 历年考试题可提供有反馈的练习。
- 做习题集： 从例题开始，等基本题变得容易后再做挑战题。
使用第五版的学生应注意，各节已重新编排，部分内容移到了网上。