How to Think About Analysis（如何思考分析学）

引用

Alcock, L. (2014). How to Think About Analysis. Oxford University Press.

章节概要

本书是一本学习指南，而不是教科书。全书分为两部分：第一部分"学习分析学"（第1–4章）讨论如何学习分析学，第二部分"分析学中的概念"（第5–10章）讨论核心概念，前后各有一篇引言和结论。第二部分每章都以概述开头，以"展望"（Looking ahead）一节结尾。引言说明，本书涵盖的内容少于大学早期的分析学课程，但对基础知识以及学习这些知识时的心理层面给予了多得多的关注。

第1章：分析学是什么样的？

本章展示一页典型的分析学讲义，内容是数列收敛（此时并不要求读者看懂），并借此说明定义、定理和证明是什么样子，符号和文字应当如何阅读，以及这类数学与此前以程序为主的数学有何不同。

第2章：公理、定义与定理

本章逐一讨论数学理论的组成部分。关于把定义与一个例子、再与更多例子相联系，准确使用定义，检查定理的前提，图形与一般性，以及定理与其逆命题的各节，把阅读变成一种主动的技能。

第3章：证明

本章说明证明在数学理论结构中的位置，以及分析学通常是如何讲授的。随后转向如何学习证明，其中一节介绍本书推荐的、以研究为基础的阅读方法"自我解释"，最后区分阅读证明与构造证明。

第4章：学习分析学

实用的学习建议：学习分析学是怎样的体验，如何跟上课程，如何避免浪费时间，如何让问题得到解答，以及如何调整学习策略。

第5章：数列

篇幅最长的一章。从什么是数列、如何表示数列讲起，经过单调性、有界性和收敛，到达收敛的严格定义，并分别从"直觉优先"和"定义优先"两个方向切入。随后讨论如何证明数列收敛、收敛数列的组合，以及趋于无穷的数列。

第6章：级数

通过记号和部分和引入级数，并再次讨论等比级数。两个围绕出人意料的例子展开的小节，为收敛判别法和交错级数做好铺垫；本章以幂级数、收敛半径和泰勒级数结束。

第7章：连续性

在讨论函数的例子和函数的给定方式（包括一些不太熟悉的例子）之后，本章同样从"直觉优先"和"定义优先"两个方向处理连续性的定义。内容包括定义的变体、证明函数连续、连续函数的组合、更多关于连续性的定理，以及极限与间断点。

第8章：可微性

本章先讨论关于可微性的一些常见误解，再给出定义并加以应用。其后各节讨论不可微性、关于可微函数的定理以及泰勒定理。

第9章：可积性

从面积与原函数的关系出发，经过面积的近似，重新建立积分，得到可积性的定义。本章给出一个不可积函数、黎曼条件以及关于可积函数的定理，最后以微积分基本定理结束。

第10章：实数

最后一章从"你所不知道的关于数的事情"开始，讨论小数展开、有理数与无理数、实数公理，并以完备性收尾。

核心概念

第1–4章：学习分析学

• 作为工具的定义：理解一个定义，要用具体例子去检验它，并准确核对每一个条件。
• 定理的前提与逆命题：检查定理假设了什么、其逆命题是否成立，是理解定理的一部分。
• 自我解释：向自己解释证明的每一行；本书依据数学教育研究推荐这一学习方法。
• 理论的结构：公理、定义、定理和证明如何相互依赖，以及讲课时如何呈现它们。

第5–6章：数列；级数

• 数列的收敛：严格定义，与它所刻画的直觉对照阅读。
• 部分和：当部分和数列收敛时，级数收敛。
• 收敛判别法与收敛半径：判断级数（特别是幂级数）是否收敛的工具。

第7–9章：连续性；可微性；可积性

• 连续性的定义及其变体：定义的各种等价表述，以及如何用它们证明连续性。
• 由定义出发的可微性：定义说了什么，常见误解出在哪里，以及不可微的函数。
• 黎曼条件：可积性的判别准则，与一个不可积的例子一起使用。
• 微积分基本定理：积分与微分之间的严格联系。

第10章：实数

• 实数公理：假定实数系统所满足的性质。
• 完备性：把实数与有理数区分开来的公理。

评析

优点

• 教人如何阅读分析学。 第一部分专门讲技能：对照例子阅读定义，检查定理的前提与逆命题，通过自我解释学习证明。作者说明这些建议以研究为基础，而且所有例子都取自分析学本身。
• 解释困难从何而来。 引言说明，本书着重指出常见错误、误解和困惑来源，其中包括把中学数学过度推广所造成的问题。"一些常见误解"这类小节标题，以及成对出现的"直觉优先"与"定义优先"小节，都体现了这一点。
• 适应不同的课程顺序。 第二部分每章开头都有概述，学生可以拿它与自己课程的大纲对照。引言指出，有的大学先讲数列与级数，有的则先讲连续、可微和积分。
• 帮助学生向前看。 第二部分每章都以"展望"一节结束，让学生看到这些基础与完整课程接下来要讲的内容如何衔接。

局限

• 内容有意精简。 作者明言，大学早期的分析学课程会比本书讲得更多。它不能代替课程教材；紧性、一致收敛、度量空间等主题在目录中都没有出现。
• 一般学习技能讲得较简略。 第一部分的学习建议比作者的 How to Study for a Mathematics Degree（美国版为 How to Study as a Mathematics Major）更为浓缩。引言本身也建议，对大学数学完全陌生的读者先读其中一本。
• 不宜快读。 作者提醒，谁也不应指望很快读完全书，并建议遇到难节先跳过、以后再回来。

在课程中的定位

在本课程书单中，这是最平缓的入门读物：它是一本解释分析学背后思维方式的辅助读物，而不是课程教材。适合在 R. P. Burn 的 Numbers and Functions: Steps into Analysis 之前或与之同时阅读；Burn 的书通过一连串让学生作答的问题来讲授同样的主题。Alcock 解释如何阅读和构造证明，Burn 则提供有组织的实际练习。

习惯养成之后，下一步是一本完整的课程教材。Stephen Abbott 的 Understanding Analysis 是带有启发性讨论的严格单变量教材，Bartle 与 Sherbert 的 Introduction to Real Analysis 是更全面的教科书。Walter Rudin 的 Principles of Mathematical Analysis 是简练而形式化的经典，宜留到更晚阅读。Victor Bryant 的 Yet Another Introduction to Analysis 是另一条贯穿数列、连续、微分与积分的入门路径。Alcock 第一部分的建议适用于上述所有教材，而讨论完备性的第10章则为多数教材早早给出的实数公理化处理做好准备。

如何使用本书

本书是为尚未开始学习分析学的学生写的，例如入读大学前的暑假，或在美式体制下进入高年级课程之前。作者也希望它能帮助已经在上分析学课程却感到吃力的学生，哪怕他们到考前复习时才开始阅读。中学微积分是基本背景：各内容章节建立在读者对数列、级数、微分和积分已有的熟悉认识之上。

实用的阅读计划：

• 从第一部分开始。 引言建议所有读者都从第一部分读起，即使已有一些大学数学经验，因为后面的章节会反复引用其中的建议。讨论定义、定理和证明的第2章和第3章是核心。
• 按自己课程的顺序读第二部分。 用每章开头的概述与课程对应：数列与级数课程读第5–6章，连续、可微、可积读第7–9章，涉及实数的地方读第10章。
• 主动阅读。 在第二部分的证明上试用第3章的自我解释方法；按第2章的建议，继续往下读之前先用例子检验每个定义。
• 不要卡住。 按作者的建议，给难懂的小节做个记号，然后继续往下读；每章都是难易内容交错的。
• 与教材配合使用。 把它与课程教材一起用，而不是替代教材：本书某一章读懂之后，就去做 Abbott 或 Bartle 与 Sherbert 中相应的章节和习题。