初等线性代数

引用

Anton, H., & Kaul, A. (2019). Elementary Linear Algebra (12th ed.). John Wiley & Sons.

章节概要

第1章：Systems of Linear Equations and Matrices

这是最长的一章，从线性方程组和高斯消元法出发，随后讲矩阵运算、逆矩阵及其代数性质、初等矩阵、对角矩阵、三角矩阵和对称矩阵，以及线性变换及其复合的入门。章末是两个应用小节：线性方程组的应用（网络分析、电路、配平化学方程式、多项式插值）以及列昂惕夫投入产出模型。

第2章：Determinants

行列式先通过余子式展开引入，再通过行化简来计算，其性质与克拉默法则一同展开。这一章只有三节。

第3章：Euclidean Vector Spaces

本章从二维、三维和 n 维空间中的向量，讲到 R^n 中的范数、点积和距离，正交性，线性方程组的几何，以及叉积。

第4章：General Vector Spaces

把第3章的思想推广到抽象的实向量空间：子空间、生成集、线性无关、坐标与基、维数以及基变换。章末讲行空间、列空间与零空间，以及秩、零度和矩阵的基本子空间。

第5章：Eigenvalues and Eigenvectors

特征值与特征向量、对角化和复向量空间之后，是两个应用：微分方程，以及动力系统与马尔可夫链。

第6章：Inner Product Spaces

本章讨论内积、内积空间中的角度与正交性、格拉姆—施密特方法与 QR 分解、最佳逼近与最小二乘、用最小二乘作数学建模，以及函数逼近与傅里叶级数。

第7章：Diagonalization and Quadratic Forms

正交矩阵和正交对角化引出二次型以及利用二次型的最优化。最后一节讨论埃尔米特矩阵、酉矩阵和正规矩阵。

第8章：General Linear Transformations

本章处理一般向量空间之间的线性变换，包括复合与逆变换、同构、一般线性变换的矩阵、相似，以及矩阵算子的几何。

第9章：Numerical Methods

LU 分解和幂法之后，是求解线性方程组的各种方法的比较、奇异值分解，以及利用奇异值分解进行数据压缩。

补充专题与附录

目录列出了在线补充专题（三篇关于线性规划，另有平面几何中的向量、刚体平衡、指派问题、行列式函数和列昂惕夫经济模型）。附录A讲如何处理证明，附录B讲复数。书末有习题答案和索引。

核心概念

第1–2章：方程组、矩阵与行列式

• 高斯消元法：系统地化简线性方程组以求出其解。
• 逆矩阵与初等矩阵：行变换与可逆性之间的联系。
• 余子式展开与克拉默法则：用于小型方程组和判断可逆性的行列式工具。

第3–4章：向量空间

• 点积、范数与正交性：R^n 的几何。
• 线性无关、基与维数：一般向量空间的结构。
• 行空间、列空间与零空间；秩与零度：矩阵的基本子空间。

第5–7章：特征值、内积空间与对角化

• 特征值与特征向量：矩阵只拉伸而不转向的方向。
• 格拉姆—施密特方法与最小二乘：构造正交基和拟合数据。
• 正交对角化与二次型：对称矩阵的对角化及其在最优化中的应用。

第8–9章：变换与数值方法

• 相似与一般线性变换的矩阵：在不同基下表示同一个变换。
• LU 分解、幂法与奇异值分解：用于计算的矩阵分解及其用途。

评析

优点

• 教学法优先。 威立介绍说，本书是适合本科第一门课的初等处理，目标是以尽可能清晰的方式呈现基本内容。
• 微积分是可选的。 微积分不是先修要求，用到微积分的习题和例子都有明确标注，可以略去而不影响连贯性。
• 习题丰富。 在第1章的样章中，每一节都以习题组结束，其中有判断题，多数还包括“Working with Proofs”和“Working with Technology”两组，因此计算、推理和软件使用都得到练习。
• 先几何后抽象。 欧氏空间（第3章）先于一般向量空间（第4章），行列式也安排得较早（第2章）。
• 应用贯穿全书。 第1章以网络分析、电路、化学方程式、多项式插值和列昂惕夫模型收尾。后面各章把理论应用于微分方程、马尔可夫链、最小二乘、傅里叶级数、二次型和数据压缩。
• 对证明的支持。 附录A“Working with Proofs”帮助学生开始阅读和书写证明。

局限

• 抽象来得较晚。 一般线性变换直到特征值之后的第8章才出现，所以想要围绕线性映射、从证明入手的处理（如阿克斯勒）的学生会觉得顺序不同。
• 数值方法简略。 第9章有五节，约40页，足以接触主要的分解，但不足以支撑一门数值线性代数课程。
• 部分内容在线提供。 补充专题（包括三篇线性规划）不在印刷版正文中。
• 篇幅。 全书超过500页，大多数课程不会全部用到。

在课程中的定位

在线性代数书单中，安东是传统的、侧重应用的第一门课。斯特朗的 Introduction to Linear Algebra 围绕四个基本子空间展开并通向奇异值分解，赫弗朗的 Linear Algebra 是供第一门课使用的免费教材，在证明结论的同时培养数学成熟度。安东的顺序（先方程组，再几何，最后抽象）适合想在接触公理之前先熟练计算的学生。

若要更偏理论，阿克斯勒的 Linear Algebra Done Right 从向量空间和线性映射出发展开这门学科，并把行列式放到后面；安东尼与哈维的 Linear Algebra: Concepts and Methods 是一本本科教材，与安东一样，从矩阵和方程组走向向量空间、对角化和正交性。霍恩与约翰逊的 Matrix Analysis 是远超安东范围的研究生参考书。

如何使用本书

本书适合数学、理科、工程和经济学专业的本科一、二年级学生。先修要求是中学代数和几何；微积分只对标注的习题有用。

第1至4章构成第一门课的核心，接着是第5章（特征值）和第6章（内积空间）。第7章给出关于对称矩阵和二次型的结果。第8、9章以及第1章和第5章靠后的小节可以作为选修，取决于课程侧重理论（第8章）还是计算与应用（第9章、1.10和1.11节、5.4和5.5节）。

按给出的顺序做习题，并且在每组习题里至少做几道判断题和“Working with Proofs”的题：它们是检验是否理解了思想的有效办法。用书末的答案核对自己的解答，用技术类习题熟悉软件的使用。