Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems（基礎微分方程與邊界值問題）

引用

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., & Meade, D. B. (2021). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (12th ed.). Wiley.

章節概要

第12版共11章，約640頁。第1–9章講常微分方程，第10–11章講偏微分方程和邊值問題，書末附有習題答案。本版由 Douglas Meade 修訂，兩位原作者均已去世。據出版社介紹，本版在每章末的習題中都加入了概念檢測題，併為每一節配備了工作單。序言說明，全書的總體結構與上一版相同。Wiley 稱各章自成一體，教師可以自行選擇章節、順序和深度。

第1章：引言

透過兩個模型——下落的物體，以及被貓頭鷹捕食的田鼠種群——引入方向場和平衡解。隨後求解一些簡單的方程，並按型別和階數對微分方程分類。三個簡短的歷史小節從牛頓、萊布尼茨和伯努利家族一直講到近來的計算進展，本章還討論瞭如何用軟體作圖和進行數值計算。

第2章：一階微分方程

用積分因子求解線性方程、可分離變數方程、用一階方程建模、線性與非線性方程的區別、自治方程與種群動力學、恰當方程、尤拉法、存在唯一性定理以及一階差分方程。

第3章：二階線性微分方程

常係數齊次方程、朗斯基行列式、特徵方程的復根與重根、降階法、待定係數法和常數變易法。本章以機械振動與電振動以及受迫週期振動結束。

第4章：高階線性微分方程

n階線性方程的一般理論，以及由第3章推廣而來的常係數、待定係數和常數變易方法。

第5章：二階線性方程的級數解

在複習冪級數之後，本章求常點附近的級數解，並在討論尤拉方程之後轉到正則奇點附近的級數解，最後討論貝塞爾方程。

第6章：拉普拉斯變換

變換的定義、在初值問題中的應用、階躍函數與間斷外力、衝激函數以及卷積積分。

第7章：一階線性方程組

本章先複習矩陣、線性代數方程組、特徵值和特徵向量，然後建立線性方程組的基本理論和常係數齊次方程組的解法，討論復特徵值和重特徵值、基解矩陣以及非齊次方程組。

第8章：數值方法

尤拉法（切線法）及其改進、龍格–庫塔法、多步法、方程組的數值方法，以及對誤差和穩定性的進一步討論。

第9章：非線性微分方程與穩定性

線性系統的相平面、自治系統與穩定性、區域性線性系統。隨後應用於競爭物種和捕食者–獵物方程。本章討論李雅普諾夫第二方法、週期解與極限環，最後以洛倫茲方程中的混沌和奇怪吸引子收尾。

第10章：偏微分方程與傅立葉級數

從兩點邊值問題引出傅立葉級數、傅立葉收斂定理以及奇函數與偶函數。隨後把分離變數法應用於杆的熱傳導及其他熱傳導問題、弦振動的波動方程和拉普拉斯方程。本章之後有兩個附錄。

第11章：邊值問題與施圖姆–劉維爾理論

再論兩點邊值問題，施圖姆–劉維爾問題（正則、非齊次和奇異），作為分離變數法進一步例項的貝塞爾級數展開，以及正交函數級數與平均收斂。

核心概念

第1–2章：基礎與一階方程

• 方向場：由短切線段構成的圖，不解方程就能顯示解的行為。
• 積分因子：把一階線性方程化為某個導數的乘數。
• 自治方程與平衡：不顯含時間的方程，透過其平衡解來分析。
• 存在唯一性定理：初值問題恰有一個解的條件。

第3–5章：高階線性方程

• 特徵方程：其根給出常係數線性方程之解的代數方程。
• 朗斯基行列式：用來檢驗解是否線性無關的行列式。
• 待定係數法與常數變易法：求解非齊次方程的兩種方法。
• 正則奇點：級數解需要採用修正形式的點，例如貝塞爾方程中的情形。

第6–8章：變換、方程組與數值方法

• 拉普拉斯變換：把初值問題（包括帶間斷外力和衝激外力的問題）轉化為代數問題。
• 方程組的特徵值方法：由特徵值和特徵向量求常係數線性方程組的解。
• 龍格–庫塔法與多步法：比尤拉法更精確的數值格式。

第9–11章：穩定性、偏微分方程與邊值問題

• 相平面與區域性線性化：透過線性近似對非線性系統的平衡點分類。
• 李雅普諾夫第二方法：藉助類似能量的函數證明穩定性。
• 傅立葉級數與分離變數法：求解熱方程、波動方程和拉普拉斯方程的途徑。
• 施圖姆–劉維爾問題：其特徵函數構成正交系的特徵值問題。

評析

優點

• 面向應用而理論紮實。 出版社把本書的視角描述為應用數學家的視角：把紮實但不抽象的初等理論闡述，與求解、分析和近似的方法結合起來。存在唯一性、朗斯基行列式、李雅普諾夫方法和施圖姆–劉維爾理論與各種解法並列出現。
• 要求得出結論的習題。 序言強調，求出解本身並不是目的。許多習題要求學生對解得出結論，例如長期行為或引數如何影響解。教師可以根據課程目標決定佈置多少這類習題。
• 靈活運用技術。 序言和出版社都說明，本書適用於從完全不用計算機到大量使用計算機的各種課程。要求「畫草圖」的習題應當手工完成，第1章還討論瞭如何使用免費的作圖工具。
• 覆蓋面廣，建模貫穿始終。 種群動力學、振動、競爭物種、捕食者–獵物模型、洛倫茲方程以及熱和波的問題都在目錄中。第1章的歷史小節和人物生平腳註把這門學科放到歷史背景中。

局限

• 篇幅長、內容全。 約640頁、11章的篇幅超出了一學期課程所能覆蓋的範圍。學生需要規劃好跳過哪些內容。
• 線性代數出現得晚而簡略。 矩陣、特徵值和特徵向量在第7章中才加以複習。出版社指出對矩陣有一定了解會有幫助；完全沒學過線性代數的學生會覺得這一章內容密集。
• 部分輔助材料在書外。 部分習題的解答在單獨的 Student Solutions Manual 中。GeoGebra 互動圖形以及許多可額外佈置的習題屬於 WileyPLUS 線上課程。
• 與上一版相比改動不大。 序言稱修訂屬於小幅調整，因此與前幾版的差別主要在習題和表述上。

在課程中的定位

Boyce、DiPrima 和 Meade 的書是本書單中標準的、全面的第一門課程教材。最接近的替代品是 Jiří Lebl 的免費教材 Notes on Diffy Qs。其作者稱它可以「直接替換」 Boyce 和 DiPrima 的書，並把各節與之對應，因此兩本書可以並用。Lebl 免費且面向工科學生，而 Boyce 提供更多例題和習題，以及奇點附近的級數解、李雅普諾夫方法和施圖姆–劉維爾理論等主題。

讀完本書之後，Hirsch、Smale 和 Devaney 的 Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos 會進一步發展 Boyce 第9章所引入的定性的、動力系統的觀點。Arrowsmith 等人的 Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour 更深入地討論映射與混沌。Brock 和 Malliaris 的 Differential Equations, Stability, and Chaos in Dynamic Economics 則把同樣的穩定性思想應用於經濟模型。

如何使用本書

本書面向修讀第一門微分方程課程的數學、理科和工科大學部學生。所述的前提是透過通常兩到三個學期的微積分課程所獲得的實用微積分知識。學習方程組的章節時，對矩陣有一定了解會有幫助。

• 一學期的常微分方程課程： 以第1–3章為核心，2.7–2.9節和振動各節視時間選講。再加上第6章（拉普拉斯變換）和第7章（方程組），最後以第9章開頭關於相平面與穩定性的幾節收尾。
• 選學內容或第二門課程的內容： 第4章是第3章的直接推廣。講級數解的第5章和講數值方法的第8章可按需選用。第10章和第11章自然構成一門傅立葉級數與邊值問題課程的內容。
• 主動學習： 先手工畫方向場和相圖，再用軟體核對。做章末習題之前先用概念檢測題，並且要做那些追問解的含義、而不僅是求解方法的習題。
• 自學： 習題答案在書末。Lebl 的免費講義可以逐節提供另一種講解。