Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos（微分方程、動態系統與混沌導論）

引用

Hirsch, M. W., Smale, S., & Devaney, R. L. (2012). Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos (3rd ed.). Academic Press (Elsevier).

章節概要

全書共十七章。第1–6章建立線性理論，第7–10章轉向非線性系統及其長期行為，第11–13章把這些內容應用於生物學、電路和力學，第14–16章引入混沌動力學，第17章回到存在唯一性定理。有十二章包含一個或多個題為「Exploration」的小節（目錄中共十七個），它們在章節主線之外探討某個具體的模型或問題。

第1章：一階方程

全書從最簡單的方程開始，隨後講到邏輯斯蒂人口模型、恆定收穫與分岔、週期性收穫與週期解。計算龐加萊映射的一節引入了後面要用到的工具，Exploration 研究一個雙參數族。

第2–4章：平面線性系統；平面系統的相圖；平面系統的分類

第2章從二階方程出發，把它們化為平面系統，複習所需的代數，並展開特徵值、特徵向量、線性系統的求解和線性原理。第3章繪製由相異實特徵值、複特徵值和重特徵值產生的相圖，並討論座標變換。第4章透過跡–行列式平面和動力學意義上的分類概念對平面系統分類；其 Exploration 是一個三維參數空間。

第5–6章：高維線性代數；高維線性系統

第5章為多於兩個變數的系統提供線性代數：預備知識、特徵值與特徵向量、複特徵值、基與子空間、重特徵值，以及一般性。第6章把它應用於具有相異特徵值和重特徵值的系統、諧振子、矩陣指數，以及非自治線性系統。

第7–8章：非線性系統；非線性系統中的平衡點

第7章定義動力系統，並陳述存在唯一性定理、解的連續依賴性和變分方程；兩個 Exploration 分別討論數值方法，以及與混沌相關的數值方法。第8章透過實例、非線性的匯與源、鞍點、穩定性和分岔來研究平衡點，其 Exploration 是複向量場。

第9–10章：全局非線性技術；閉軌與極限集

第9章介紹零傾線、平衡點的穩定性、梯度系統和哈密頓系統，Exploration 是受恆定強迫的單擺。第10章討論極限集、局部截面與流盒、龐加萊映射、平面動力系統中的單調序列、龐加萊–本迪克森定理及其應用，最後以振盪的化學反應結尾。

第11–13章：生物學中的應用；電路理論中的應用；力學中的應用

第11章涵蓋傳染病、捕食者–被捕食者系統和競爭物種，Exploration 討論競爭條件下的收穫，以及在 SIR 模型中加入殭屍。第12章從 RLC 電路出發，經過李納方程和範德波爾方程，到達霍普夫分岔，Exploration 是神經動力學。第13章展開牛頓第二定律、保守系統、有心力場、開普勒第一定律、二體問題和奇點爆破（blowing up）的技術，Exploration 涉及其他有心力問題、量子力學系統的經典極限，以及滑翔機的運動。

第14–16章：洛倫茲系統；離散動力系統；同宿現象

第14章介紹洛倫茲系統、它的基本性質、洛倫茲吸引子、一個幾何模型和混沌吸引子，Exploration 是勒斯勒爾吸引子。第15章轉向離散系統：分岔、離散邏輯斯蒂模型、混沌、符號動力學、移位映射和康托爾三分集，Exploration 是三次映射的混沌和軌道圖。第16章涵蓋希爾尼科夫系統、馬蹄映射、雙渦卷吸引子和同宿分岔，Exploration 是蔡氏電路。

第17章：再論存在唯一性

最後一章重新回到第7章的定理並給出其證明，隨後討論對初始條件的連續依賴性、解的延拓、非自治系統和流的可微性。

核心概念

第1–6章：線性理論

• 龐加萊映射：第1章為週期性受迫的一階方程引入，在第10章中再次用於研究閉軌。
• 跡–行列式平面：第4章中對平面線性系統分類的場所。
• 矩陣指數：第6章中求解高維線性系統的工具。

第7–10章：非線性系統

• 存在唯一性定理：在第7章陳述，在第17章證明。
• 平衡點的穩定性與分岔：第8章的主題。
• 梯度系統與哈密頓系統：第9章處理的兩類系統。
• 龐加萊–本迪克森定理：第10章中關於極限集的平面結果。

第11–17章：應用與混沌

• 霍普夫分岔：12.4節的主題，緊接在李納方程和範德波爾方程之後。
• 洛倫茲吸引子：第14章的核心例子。
• 符號動力學與移位映射：第15章中理解離散系統混沌的工具。
• 馬蹄映射與同宿分岔：第16章的主題。

評析

優點

• 從線性到非線性的清晰路徑。 目錄從平面線性系統出發，經過高維線性代數，到非線性平衡點、全局技術和極限集，每個主題都由前一個主題鋪墊。第5章和2.3節的預備內容意味着線性代數在書中得到了複習。
• Exploration。 十七個「Exploration」小節為學生提供可以自行研究的模型，從第1章的雙參數族到第16章的蔡氏電路。出版社稱第三版更新了內容並擴充了應用；目錄中包括例如在 SIR 模型中加入殭屍的內容（11.5）。
• 三個應用章節。 生物學、電路和力學各有一整章（第11–13章），讓第8–10章的定性工具有了具體的用武之地。
• 理論並未缺席。 存在唯一性定理在較早處（7.2節）陳述，並在第17章（17.2節）中單獨證明，因此課程可以先使用定理、後講證明。

侷限

• 不是學習求解技巧的第一門課。 目錄中沒有關於級數解、拉普拉斯變換或偏微分方程的章節，二階方程只出現在2.1節，諧振子只出現在6.2節；需要系統瞭解方程求解方法的學生應另配一本書。
• 後面的章節較為專門。 第13章和第16章（奇點爆破、希爾尼科夫系統、馬蹄映射、同宿分岔）是目錄中最專門的部分，出版社給出的讀者羣是高年級本科生和研究生。
• 入門水平界定不夠清晰。 出版社稱需要微積分，並說線性系統是緩慢引入的，但同時把讀者羣描述為高年級本科生和研究生；讀者應自行判斷是否要先學一門微分方程入門課。

在課程中的定位

本書屬於微分方程學習序列中的第二本。Boyce 和 DiPrima 的《Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems》是兼顧求解方法、定性理解與應用的第一門課，Jiří Lebl 的《Notes on Diffy Qs》則是面向工程專業學生的免費第一門課；讀本書之前，先讀其中任何一本都很自然，尤其是為了學習 Hirsch、Smale 和 Devaney 沒有涉及的求解方法。Arrowsmith 等人的《Dynamical Systems: Differential Equations, Maps, and Chaotic Behaviour》被介紹為對穩定性、非線性動力學、映射和混沌行為的嚴格論述，是可能的下一步；《Differential Equations, Stability, and Chaos in Dynamic Economics》則適合瞭解同樣思想在經濟學中的應用。

如何使用本書

本書適合已學完微積分和線性代數、希望瞭解微分方程的幾何與定性一面的數學、理工科學生，也適合已在別處接觸過基本常微分方程方法的自學者。

實用的學習安排如下：

• 核心（第1–10章）： 按順序閱讀。第2–4章是所有平面問題的基礎，第7–10章承載非線性理論。做第1、4、8、9、10章的 Exploration，親身體驗分岔和極限集。
• 應用（第11–13章）： 按興趣選擇；講傳染病和種羣的第11章最容易入手，第13章最適合物理專業的學生。
• 混沌（第14–16章）： 第14章和第15章（洛倫茲系統與離散動力系統）是混沌內容的核心，第16章最為專門，適合留到第二遍閱讀。
• 理論（第17章）： 如果課程包含存在唯一性的證明，在第7章之後閱讀。

繪製相圖以及做第7章中的數值 Exploration 時，請使用電腦代數系統或繪圖工具。